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第12课时反比例函数第12课时┃反比例函数考点聚焦考点1反比例函数的概念定义：一般地，形如________(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数．表达式：y＝kx或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)．防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.y＝kx归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数考点2反比例函数的图象与性质(1)反比例函数的图象：反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是________，且关_______于对称．双曲线原点(2)反比例函数的性质：函数图象所在象限性质k0第一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x增大而减小y＝kx(k≠0)k0第二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而增大归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数图12－1(3)反比例函数比例系数k的几何意义：推导：如图12－1，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|.k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数12|k|.图12－1归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数考点3反比例函数的应用求函数表达式的方法步骤利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝kx；②代入图象上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；③写出函数表达式反比例函数与一次函数图象的交点的求法求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝k2x的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方程组归类探究回归教材考点聚焦命题角度：求反比例函数的表达式．探究一反比例函数的概念归类探究第12课时┃反比例函数归类探究回归教材考点聚焦例1[2014·滨州]如图12－2，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数y＝kx(x0)的图象经过顶点C，则k的值为________．图12－2第12课时┃反比例函数-6归类探究回归教材考点聚焦解析先根据菱形的性质求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数的表达式即可得出k的值．∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C(－3，2)．∵点C在反比例函数y＝kx的图象上，∴2＝k－3，解得k＝－6.第12课时┃反比例函数归类探究回归教材考点聚焦命题角度：反比例函数的图象与性质．探究二反比例函数的图象与性质第12课时┃反比例函数归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数例2[2014·安顺]如果点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝kx(k0)的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是()A．y1y3y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y3y2y1B归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解析方法一：分别把各点的横坐标代入反比例函数y＝kx(k0)中，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．方法二：反比例函数y＝kx(k0)的图象在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．A(－2，y1)，B(－1，y2)在第三象限，因为－2－1，所以y2y10，因为点C(2，y3)在第一象限，所以y30，所以y3y1y2.归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数失分盲点反比例函数性质的理解误区比较反比例函数值的大小，在同一个象限内，根据反比例函数的性质比较；在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．归类探究回归教材考点聚焦命题角度：反比例函数中k的几何意义．探究三与反比例函数中k有关的问题第12课时┃反比例函数归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数例3[2014·湘潭]如图12－3，A，B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝()A．3B．4C．5D．6图12－3D归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解析解析欲求S1＋S2，只要求出过A，B两点向x轴、y轴作的垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝4x的系数k，由此即可求出S1＋S2.∵A，B是双曲线y＝4x上的点，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1＋S2＝4＋4－1×2＝6.故选D.归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数方法点析利用反比例函数中k的几何意义解决有关面积问题时，要注意点的坐标与线段长之间的转化．归类探究回归教材考点聚焦命题角度：1．反比例函数在实际生活中的应用；2．反比例函数与一次函数的综合运用．探究四反比例函数的应用第12课时┃反比例函数归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数例4[2014·广东]如图12－4，已知A(－4，12)，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋B与反比例函数y＝mx(m≠0，m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(2)求一次函数的表达式及m的值；(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．图12－4归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解析解析(1)根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；(2)根据待定系数法，可得函数表达式；(3)根据三角形面积相等，可得答案．归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解：(1)由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的x的取值范围是－4＜x＜－1，即当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值．归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数(2)设一次函数的表达式为y＝kx＋b.因为一次函数y＝kx＋b的图象过点(－4，12)，(－1，2)，所以－4k＋b＝12，－k＋b＝2，解得k＝12，b＝52，所以一次函数的表达式为y＝12x＋52.因为反比例函数y＝mx的图象过点(－1，2)，所以m＝－1×2＝－2.归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数(3)连接PC，PD，如图，设点P的坐标为(x，12x＋52)．由△PCA和△PDB的面积相等，得12×12×(x＋4)＝12×|－1|×(2－12x－52)，解得x＝－52，y＝12x＋52＝54，∴点P的坐标是(－52，54).归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数方法点析此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路．在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，常常采用分割法，把所求的图形分成几个三角形或四边形，分别求出面积后再相加．归类探究回归教材考点聚焦回归教材第12课时┃反比例函数反比例函数模型应用广教材母题——北师大版九上P159习题6.4第2题某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图12－5所示．(1)写出这一函数的表达式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？图12－5归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解：(1)∵一定质量的气体，当温度不变时，p是V的反比例函数，∴设p＝kV(k≠0)．将A(0.8，120)代入p＝kV，得120＝k0.8，解得k＝96，∴该函数的表达式为p＝96V.(2)当V＝1时，p＝96，即气压为96kPa.(3)当p＝140时，V＝2435，由图象可知，当气球内的气压大于140kPa时，气体的体积应不小于2435m3.归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数中考预测[2013·益阳]我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图12－6是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝kx(k≠0)的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？(2)求k的值；(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？图12－6归类探究回归教材考点聚焦第12课时┃反比例函数解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时．(2)∵点B(12，18)在双曲线y＝kx(k≠0)上，∴18＝k12，解得k＝216.(3)当x＝16时，y＝21616＝13.5，故当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃.归类探究回归教材考点聚焦