第四章：固体力学大变形基础

固体力学大变形基本知识1.物体运动的物质描述2.格林和阿尔曼西应变3.物体运动等的空间描述和变形率4.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力5.大变形时平衡方程和虚位移原理6.大变形本构关系1.1物体运动的物质描述-拉格朗日描述t=0的坐标为Xi，t时刻位置为xi，质点运动可表为),(tXxxjii对物体t时刻位置和变形的刻划称为构形或位形，如图示。描述运动的参照基准称为参考位形，以初始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，Xi称为物质坐标。物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数jiXijixxXxj,,称为变形梯度，是非对称的二阶张量。因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。现时位形两邻点的距离为jjijijjiiXxtXxtXXxxd,),(),d(d1.2、变形梯度物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行列式J不为零。也即变形梯度可逆xiXieJexxxexXxXxXlmnijkiljmknijkiljmkn,,,Ricci有脚标相同03123113211ijke可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明321332313322212312111,,,,,,,,,,,,kjiijkxxxexxxxxxxxxJRicci符号JxXij0xXxxijiXijj,,证明JxxxeJekjiijk定义321123,,,JxxxeJekjiijk列互换二次132231,,,JxxxeJekjiijk列互换一次123321,,,JxxxeJekjiijk列互换二次213312,,,JxxxeJekjiijk列互换一次312213,,,JxxxeJekjiijk列互换一次231132,,,0,,,两列相同mkmjliijklmmxxxeJe由此可见，成立nkmjliijklmnxxxeJe,,,返回nkmjliijklmnxxxeJe,,,123,,,ijkijkJexxx'd,d,diiiXXX设图示初始位形微元体体积为dV0，三线元为运动变形后，现时位形三线元为'd,d,diiixxx1.3、体积变换公式'321'3'2'13210dddddddddddddkjiijkXXXeXXXXXXXXXV'321'3'2'1321dddddddddddddkjiijkxxxexxxxxxxxxV'321'3'2'1321dddddddddddddkjiijkxxxexxxxxxxxxV'dddnnkmmjlliijkXXxXXxXXxejiXijixxXxj,,变形梯度'dddnmllmnXXXJe因此，现时位形的体积可表为'dddnmlnkmjliijkXXXXxXxXxedVeJexxxexXxXxXlmnijkiljmknijkiljmkn,,,体积变换公式0'ddddVJXXXJekjiijk,iijjdxxdX仿体积的上述说明，图示面元可表为如果记初始和现时位形的密度分别为'0dddkjijkiXXeAN0和则由质量守恒，可得00ddVVJ因此对不可压缩物体1J'dddkjijkixxeAn'dddkjliijkilixxXxeAnXx又因1.4、面积变换公式'i0dddXdkjijkiXXeAN体积变换公式由此面元变换公式也可表为0'dddd,AJNXXJeAnxlnmlmnili根据变形梯度张量可逆1,,iiilliilliXxxXXx0d,dANJXAnlili'ddnmnkmjliijkXXXxXxXxe面积变换公式面积变换公式1.4、面积变换公式'0dddkjijkiXXeAN1.5Green和Almansi应变张量jijkikijxxxXxXddijjkikijXxXxE21设初始和现时位形中P、Q两点的距离分别为diXdix研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量－应变iiiiXXxxddddjiijjkikXXXxXxddjkikijijxXxXe21格林应变张量阿尔曼西张量格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。质点的位移向量也同样可用初始位形和现时位形定义上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为ijijiXtXxtXu),(),(ijjijiXuXx位移对坐标（）的偏导数，称为位移梯度张量。),(),(txXxtxujiiji初始坐标的函数现时坐标的函数1.5Green和Almansi应变张量jiijjixuxXjiXujixu由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下),,,,(21jijiXkXkXiXjijuuuuE),,,,(21jijixkxkxixjijuuuue1.5Green和Almansi应变张量ijjkikijXxXxE21jkikijijxXxXe21格林应变张量阿尔曼西张量ijjijiXuXxjiijjixuxX,,,,,,,,1()()2121122ijjiijjikkijkikjijijkkkkkjkikikjijijijkXkXiXjXijijkXkXiXjXuuEXXuuuuXXXXuuuuuuuu这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的柯西应变-工程应变)(jjijijjiuxxXFxXXFxF当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系iijjiijijjXFxuXFXFxuXF)(),,(21jixixjijijijuueE具有相同量级),,,,(21jijiXkXkXiXjijuuuuE),,,,(21jijixkxkxixjijuuuue若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则则iiiiXXxxdddd0ijjkikXxXx物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在1.5Green和Almansi应变张量－客观张量0jkikijxXxX0,ijijEeGreen应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，P,Q两点的尺度不变，同时也不变，因此联系P,Q两点的尺度的变化及的Green应变张量的各个分量也不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张量称为客观张量。iXdiXd2.物体运动的空间描述和变形率质点运动的空间描述或欧拉描述，处质点的速度。ttxvtttvxvtxvjijjiid),()d,d(),(瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取jijixvvtv当地部分当地加速度对流部分、迁移加速度其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项是非均匀速度场质点运动的贡献。称为速度的物质导数。v其中导数称为速度梯度张量。jixixvvj,),(txvvixi(,)(,)(,)ijjijijjvvxvdttvxtdtvxtxdt速度梯度张量可分成两部分),,(21jixixjijvv因此，速度梯度张量为ijijxiVvj,),,(21jixixjijvvV旋率张量变形率张量反对称对称xFvtFDtDF任意函数的时间变化率－物质导数刚体转动的角速度Vij就反映了邻域的纯变形。点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的jixixvvj,若令上式两边同乘eklm，则质点Q相对点P的相对速度为jijijixVv)d(dlmijkijklmkklmeee21ijkijke2121ddddiijijjijvvxVx证明因此，利用上式可得jkkijjijixexvddd1ijkikjjkkijxxexe)d(dd刚体转动的角速度ijkijklmkklmeee2131213213312312222)(lmlmijijlmeeeeee12321321123123332)(lmlmijijlmeeeeee23132132231231112)(lmlmijijlmeeeeee的定义根据ijke反对称232312322e322323132222e313123122e133131213222e121231222elmijkijklmkklmeee21证明ijijlmijijlmijijlmijkijklmeeeeeeee332211211212321222e讲义上说明了，点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的。因此，Vij就反映了邻域的纯变形。因此，是质点P邻域，绕过P点某轴的刚体转动，向量是转动的角速度，因此称为速度场的旋度向量。i1divijijV),,(21jixixjijuu变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率2.3格林应变张量的物质导数jkikjkikijXxXxXxXxE21)(jllkikjkillkXxxvXxXxXxxv21kljkilkllkjkilVXxXxxvxvXxXx21ijjkikijXxXxE21),,(21jixixjijvvV而相对于现时位形的格林应变速率等于变形率张量。也即)(,tVEijtij由于在刚体运动时变形率张量等于零，因此刚体运动时格林应变物质变化率等于零。所以可以在本构关系中，用格林应变率度量应变速率。阿尔曼西应变的物质导数jkikjkikijxXxXxXxXe21)(jkikijijxXxXe21因为运动质点在空间位置xi处变化时，它的初始位形标志Xi是不变的，因此0,,)(jxijtiiXvXX将此结果代入阿尔曼西应变的物质导数，得jiixkxjtxkikXvXX,),(),,(,)(0),,(ijxxkjXvtxkxkxjijiXXv),,(,),(),(),,(ijixkxxkjXXv],,,,,,[21)(mjijlixkxmxkxkxkxlijXvXXXvejkikjkikijxXxXxXxXe21)