恒等式

应用恒等式求待定常数方文湃引语：事物因“相等”，相对静止，表现为具体、简单，可以认识；因“不等”，运动变化，显得抽象、复杂，难以触摸。“相等”与“不等”是相互对立的一组关系，是同一事物矛盾对立的两个方面，我们通过“相等”而认识“不等”，“相等”既是数学思考的起点，又是数学思考的终点。恒等式是一个古老而原始的概念，许多科学发现的定理、定律，通过恒等式的形式表现出来，恒等式秉持“相等”而成为永恒的话题。今天我重点谈谈恒等式在解析几何中求定点坐标、定直线方程中的应用。例1.证明：直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标.[解法一]：（比较系数法）直线方程化为:(1)10xmy,∵m∈R,∴1010xy，解得，1x，1y，∴直线10mxym(m∈R是参数)过定点（1,1）.一、求曲线系过定点分析：本题是证明直线系过定点问题，要有恒等式的思想.[解法二]:（特殊值法）取m=0，m=1得，1y，且20xy，联立解得，1x，1y，将（1,1）代入10mxym检验满足方程，∴直线10mxym(m∈R是参数)过定点（1,1）.对证明直线系过定点问题，要将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式各个系数为0，列出关于,xy的方程组，通过解方程组，求出定点坐标这就是“比较系数法”；另外，也可点评：以代入两个特殊参数值，得到两条特殊直线方程，解方程组得到两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.这就是“特殊值法”。这两种方法是处理恒等式有关问题的常用方法。以上是恒等式求直线系过定点，下面是高三考前热身（C）理科数学20题，第三小题是求圆系过定点的问题。如图，已知椭圆22:14xCy的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，且异于点A、B，直线AP、PB与直线:2ly分别交于点M、N.(1)设直线APPB的斜率分别为12kk、，求证：12kk为定值；(2)求线段MN的最小值；(3)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。解:(1)、(2)略.所以,以MN为直径的圆经过定点1134kk(3)∵113(4,2)(,2)MkNk、，∴以MN为直径的圆系方程为2113(4)()(2)0xkxyk即22113(2)12(4)0xykxk…………(*)令220(2)120xxy解得0223xy12(0,223)(0,223)QQ、所以,以MN为直径的圆经过定点12(0,223)(0,223)QQ、也可以把(*)式化为222114[(2)12]30xkxykx2240,30(2)120xxxy且，同样可以解得0223xy（1）若直线l过点A（4,0），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；二、恒等式求定点坐标例2.（揭阳市2011-2012学年度第二学期高一学业水平考试压轴题）在平面之间坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4，C2：（x-4）2+（y-5）2=4.∴直线l方程为y=0或7x+24y-28=0解：（1）过程略（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2，它们分别于圆C1和圆C2相交，且直线L1被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2截得的弦长相等，试求所以满足条件的点P的坐标.（2）解：设满足条件的点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等y-n=k(x-m)，1y-n=-(x-m)k即xmkx-y+n-km=0,--y+n+=0kk∴22-4m|-5+n+||-3k-1+n-km|kk1k+1()+1k，即22|-(m+3)k+n-1||(n-5)k+m-4|k+1k+151(,)22或313(,)22。化简，得：-(m+3)k+n-1=(n-5)k+m-4或(m+3)k-n+1=(n-5)k+m-4由k的任意性，得-(m+3)=n-5，m-4=n-1，或m+3=n-5，-n+1=m-4解得：点P坐标为点评：很多同学在得出这个方程“”以后，就陷入迷茫，找不到解题的思路，其实这个式子“”不是方程，而是要把它视为恒等式。形的“无穷多”对应数的“恒等式”，用“数”的观点研究“形”的问题，这是解析几何的核心思想方法，也就是我们平常所说的“数学结合”。22|-(m+3)k+n-1||(n-5)k+m-4|k+1k+122|-(m+3)k+n-1||(n-5)k+m-4|k+1k+1“恒等式”与“方程”是有区别的，“恒等式”是绝对的、无条件的相等，“方程”是相对的、有条件的相等；两者又有联系，当恒等式的参数代入一些具体值时，就可以得到一系列的方程，而且这一系列的方程的解是相同的。理解了恒等式与方程的区别，就不会走入死胡同，含有三个未知数的方程“”是没办法解的；只有把它视为恒等式，在“恒等式”的正确思想指导下，才能“柳暗花明又一村”，拨开迷雾，走出死胡同，走向康庄大道，化为关于参数k的恒等式，从而求解。22|-(m+3)k+n-1||(n-5)k+m-4|k+1k+1例4.（2007番禺区高二数学学业测试模拟试题20题）设圆1C的方程为222(2)(32)4xymm，直线l的方程为2yxm。(1)求圆1C关于直线l对称的圆2C的方程；(2)当m变化且0m时，求证：圆2C的圆心在一条定直线上，并求圆2C所表示的一系列圆的公切线方程。解：(1)已知得圆心1C（-2，3m+2）关于直线l:2yxm对称的圆心2C(2m,m)∴圆2C的方程：222(2)()4xmymm三、恒等式求圆系公切线（定直线）（2）当m变化且0m时，2C(2m,m)∴圆2C的圆心在一条定直线上12yx∵圆心的横坐标的绝对值等于半径，∴圆2C所表示的一系列圆都与y轴相切.∴圆2C所表示的一系列圆的公切线方程x=0.这是我在百度下载的题目，上面是供题者提供的答案。显然答案不完整。现先用观察、几何的方法补充完整，画出图1，设圆C2切直线点评：1l：x=0于点A，圆心2C(2m,m)所在直线12yx与直线1l相交于原点O，由对称性知，圆C2的切线除了直线1l外，还存在关于直线12yx对称的另外一条待求得直线2l，设AOC，则22xOB（顺时针为负，逆时针为正），在直角三角形OAC2中tan2，直线2l的斜率211tan3tan(2)2tan22tan4k由点斜率式的圆C2的另外一条切线2l：34yx1l：x=0于点A，圆心2C(2m,m)所在直线12yx与直线1l相交于原点O，由对称性知，圆C2的切线除了直线1l外，还存在关于直线12yx对称的另外一条待求得直线2l，设AOC，则22xOB（顺时针为负，逆时针为正），在直角三角形OAC2中tan2，直线2l的斜率211tan3tan(2)2tan22tan4k由点斜率式的圆C2的另外一条切线2l：34yx*用恒等式求圆系公切线：当这一系列圆的公切线斜率存在时，设圆所表示的一系列圆的公切线方程为y＝kx+b,由题意得2|2|2||1kmmbmk，∴2[(21)]kmb22222(21)2(21)4(1)kmkbmbkm由m的任意性，得2222(21)4414(1)2(21)00kkkkkbb解得340kb∴当这一系列圆的公切线斜率存在时，其公切线方程为0x与34yx。故圆2C所表示的一系列圆的公切线方程为0x与34yx.[特殊值法]：令1m，得222:(2)(1)2Cxy易求得过原点O，⊙2C的两条切线方程为1:0lx与23:4lyx。验证直线1:0lx与23:4lyx是圆系2C所表示的一系列圆的公切线（如图2）。例5.若函数为21()xbxfxx奇函数，求常数b.[解法一]：（特殊值法）由题意有(1)(1)ff，即111111bb.∴0b.四、恒等式确定待定常数点评：特殊（有时）可以替代一般，这就是哲学中的“特殊性寓于普遍性之中，普遍性又通过特殊性，具体表现出来，没有特殊性就没有普遍性.”这完全可以通过我们数学中的演绎推理（三段论推理）去理解它。其实，不论是求定点坐标，还是求定直线方程，其实质都是求待定的常数。[解法二]：（比较系数法）由题意有()()fxfx即2211xbxxbxxx.∴2211xbxxbx，比较系数得bb∴0b.谢谢指导！