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第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)一般地，用联结词“”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“”．(2)一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“”．(3)一般地，对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作，读作．基础知识梳理p∧q且p且qp∨qp或q￢p“非p”或“p的否定”(4)简单复合命题的真值表：基础知识梳理pqp∧qp∨q￢p真真真真假真假假真假真假假假真真真假假假否命题与命题的否定是否相同？【思考·提示】否命题与命题的否定不是同一概念，否命题是对原命题“若p则q”既否定其条件，又否定其结论；而命题p的否定即非p，只是否定命题的结论．基础知识梳理2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“”表示．存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做；“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．基础知识梳理∀∃全称命题∀x∈M，p(x)(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为，读作：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．基础知识梳理∃x0∈M，p(x0)3．含有一个量词的命题的否定基础知识梳理命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M，￢p(x0)∀x∈M，￢p(x)全称命题与特称命题的否定有什么关系？【思考·提示】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．基础知识梳理1．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．∀x∈R，x2＋x＋1＜0C．存在实数大于等于3D．菱形的对角线垂直答案：C三基能力强化2．下列四个命题中，其中为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋3＜0B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5＜1D．∃x∈Q，x2＝3答案：C三基能力强化3．(2009年高考天津卷改编)命题“存在x0∈R，lgx0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R，lgx0＞0B．存在x0∈R，lgx0≥0C．对任意的x∈R，lgx≤0D．对任意的x∈R，lgx＞0答案：D三基能力强化4．(教材习题改编)“矩形的对角线互相平分或互相垂直”是________命题．答案：真三基能力强化5．命题p：“－2不是偶数”，q：π是无理数，则在“p∧q”，“p∨q”，“￢p”，“￢q”中，真命题有________，假命题有________．解析：易判断知p假，q真，故真命题有p∨q，￢p；假命题有p∧q，￢q.答案：p∨q，￢pp∧q，￢q三基能力强化“p∨q”、“p∧q”、“￢p”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“￢p”形式命题的真假．课堂互动讲练考点一命题真假的判断课堂互动讲练例1写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．课堂互动讲练【思路点拨】(1)利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题；(2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假．【解】(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．￢p：1不是素数．真命题．课堂互动讲练(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．￢p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．课堂互动讲练(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．￢p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．课堂互动讲练【名师点评】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，进行命题结构与真假的判断．课堂互动讲练把例1中的要求改为“写出下列各组命题构成的(￢p)∨(￢q)，(￢p)∧(￢q)形式的复合命题，并判断真假”．解：(1)￢p：1不是素数，真命题，￢q：1不是方程x2＋2x－3＝0的根，假命题，课堂互动讲练互动探究(￢p)∨(￢q)：1不是素数或不是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题，(￢p)∧(￢q)：1既不是素数又不是方程x2＋2x－3＝0的根，假命题．课堂互动讲练(2)￢p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题；￢q：有些平行四边形的对角线不互相垂直，真命题；(￢p)∨(￢q)：有些平行四边形的对角线不相等或不互相垂直，真命题．(￢p)∧(￢q)：有些平行四边形的对角线不相等且不互相垂直，真命题．课堂互动讲练(3)￢p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同，是真命题，￢q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值不相等，是真命题．(￢p)∨(￢q)：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同或绝对值不相等，真命题．(￢p)∧(￢q)：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同且绝对值不相等，真命题．课堂互动讲练(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．课堂互动讲练考点二全（特）称命题真假的判定课堂互动讲练(2)要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．课堂互动讲练例2判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x，使得＝2.1x2－x＋1课堂互动讲练【思路点拨】判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找到．【解】(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1；是一个假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l存在斜率；是一个假命题．(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解；是一个假命题．(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x∈R，＝2；是一个假命题．课堂互动讲练1x2－x＋1【规律小结】短语“所有”、“任意”、“凡是”、“每一个”等在陈述句中都表示事物的全体，这些词语都可以理解为全称量词，相应的命题叫做全称命题．短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”等在陈述句中都表示事物的个体或部分，可以理解为存在量词，相应的命题叫做特称命题．课堂互动讲练全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可，从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．课堂互动讲练考点三全（特）称命题的否定课堂互动讲练例3写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.课堂互动讲练【思路点拨】分析命题所含量词→明确命题是全称命题还是特称命题→对命题否定并判断真假．【解】(1)￢p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋40恒成立，故￢p为假命题．(2)￢p：所有的三角形的三条边不全相等．显然￢p为假命题．(3)￢p：有的菱形对角线不垂直．显然￢p为假命题．课堂互动讲练(4)￢p：∀x∈N，x2－2x＋1＞0.显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故￢p是假命题．【思维总结】注意命题所含的量词，没有的要结合命题的含义加上量词，再进行否定，同时注意三条边相等的否定是三条边不全相等．课堂互动讲练对于含有逻辑联结词的命题，首先要确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件；其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件；还要注意p∧q为假且p∨q为真，等价于p、q中一真一假．课堂互动讲练考点四求参数的取值范围课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知两个命题r(x)：sinx＋cosxm，s(x)：x2＋mx＋10.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．课堂互动讲练【思路点拨】由已知先求出对∀x∈R时，r(x)，s(x)都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论所求m的范围．课堂互动讲练【解】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≥－2，∴当r(x)是真命题时，m－2.2分又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋10恒成立，有Δ＝m2－40，∴－2m2.4分∴当r(x)为真，s(x)为假时，m－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；6分【误区警示】m的取值范围不是命题r(x)、s(x)中m的范围的并集，这是易错的地方．课堂互动讲练当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2m2，即－2≤m＜2.8分综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.12分(本题满分10分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．课堂互动讲练高考检阅解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题.2分若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.4分若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，8分综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.10分课堂互动讲练1．对“或”“且”“非”的理解(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同．对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x∉B”，也可以是“x∉A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的．规律方法总结(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B.规律方法总结(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集∁UP.对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定．规律方法总结2．命题的否定命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：规律方法总结正面词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是规律方法总结正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个