1关键词:独立增量过程泊松过程布朗运动第十二章泊松过程与布朗运动§1独立增量过程(),0,,0()()XttststXtXsst给定二阶矩过程,对,若称随机变量为随机上过程在区间的增量;01102110,()(),()(),()()(),0nnnntttnXtXtXtXtXtXtXtt对任意选定的正整数和任意选定的个增量相互独立,称为独立的增量过程;在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独直立观地说,它具有“”的这一特征.0,()()()()hshthXthXshXtXs若对任意的实数,增量具与同分布,称有平稳性;()()()(0)(0)XtXsXtsXtsst这时,增量与同相同,只依赖于。()平稳独立增齐次量+平稳增量=独立增量4独立增量过程的性质:(),0(0)0,XttX若是独立增量过程,且则:()()()(01.)XtXtXsst的有限维分布函数族可以由增量的分布所确定;121212211111121211,,(),(),()()(0),()(),...,()()(),(),()()(0),()(),,()()nnnniiiiiinnnnttttttXtXtXtXtXXtXtXtXtXtXtXtXtXXtXtXtXt事实上,对任意的及任意的,不妨设,则:即的分布函数可由:的分布函数确定。()(,)(,2.)XXXDtCstDminst设已知,则[()(0)],[()()][()(0)]CovXsXXtXsXsX,(,)[(),()]XstCstCovXsXt证明:设则0()()XDXsDs,(,)()XXtsCstDt同理当时可证得[()(0)],[()()][()(0)]CovXsXXtXsDXsX§2泊松过程()(0)0,(),0NtttNtt以表示在时间间隔内出现的质点数,是一状态取非负整数、时间连续的随机计过程,称为数过程。000000(,)()()0,(,)(,)0,1,2kNttNtNtttttPttPNttkk记,它表示时间间隔内出现的质点数,其概率记为:5t4t3t2t1t()Nt等间隔的不等间隔的(一)泊松过程定义及数字特征{(),0}Ntt定义:计数过程满足强度为如的下条件,称作泊松过程。{();0}1.Ntt是独立增量过程;1200,(,)(,)1(),,2(,)(),(2.)jjttPtttPNttttotPNtttPtttotNt对于任意的及充分小的,其中常数称为的强度;(03.0)N。000()000()(,),()0,1,2,!,~()kkttNtPttPNttkttekkNtttt若是强度为的泊松过程,则:即000,,0PtttPNttt证明:000,,PttPttt条件1=0,,0PNttNttt000000,,,PtttPttPtttot即0,0,,0PNttNttt200,1Ptttot条件=000000,,,PtttPttPtttot即0000,,dPttPttdt00000(,)0(,)1,NttPtt由即为初始条件0()000(,)ttPttett解得:0tt等式两边除以,令,得:0(,)1kPttk再来计算00(,),,kPtttPNttNtttk00,,kjPNtttjPNttkj00010(,)(,),,kkkkPtttPttPttPtttot0011002,,,,,,kkkjkjjPtttPttPtttPttPtttPtt0101,,kktotPtttotPttot00010(,)(,),,kkkkPtttPttPttPtttot0tt两边除以,令,得:00100,,,kkkdPttPttPttttdt00100,[,],kttkkdPttePttePttttdt等价地,010,,tktkdePttePttdt01001000,0,.ttPttPttttett初始条件,可得,0010100,1,,ttttdePttkedtPtttcett令,于是010,,tktkdePttePttdt证毕0100101(),,,(1)!kttktkkttdePttePttedtk利用数学归纳法,设时命题成立,则000(),{}!kttkttePttcek从而,010,,tktkdePttePttdt00,0,1,kPttk初始条件就可求得:00()000(),,,!0,1,2kttkttPttPNttkettkk000(,)Ntttttt由此可见,增量的概率分布是参数为()的泊松分布,且只与时间差有关,所以强度为的泊松过程是一齐次的独立增量过程。000(),02.0,()()~3.(0)0(),0NttttNtNtttNNtt泊松过程也可用另一形式定义:若计数过程满足下列三个条件:1.它是独立增量过程对任强度为意的增量则称是一的泊松过程强度为的泊松过程的数字特征:0001.,ENttENtNttt;00002.,000,NNDNttDNtNttttNtENttDtDNtt,特别地,,由假设,可得:;3.,,,,0NNCstDminstminstst,;24.,,,,0NNNNRstCststminststst,。(),0{(5)4};{(5)4,(7.5)6,(12)9};{(12)9(5)4};(4){(5)4(12)9};(5)[(5)],[(5)],[(5),(12)].NttPNPNNNPNNPNNENDNCovNN例12:设{}服从强度为的泊松过程,求(1)(2)(3)45(1)P54(5)4!Ne解:(2)54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3PNNNPNNNNN4522.534.5[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)3!]eee(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4PNNPNNN57(12)(5)5(7)5!PNNe(5)E[N(5)]=5,55,DN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9PNNPNNPN(5)4(12)(5)5(12)9PNPNNPN455749449912(5)4!(7)5!551.1212(12)9!eeCe[(5),(12)]55.CovNNDN:{(0.5)1,(2.5)5}PNN解:例顾客依泊松过程到达某商店,速率为4人/小时,已知商店上午9:00开门,求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时已到5位顾客的概率?842{(0.5)1}{(2.5)-(0.5)4}8(2)()0.01554!PNPNNee(二)泊松过程的合成与分解()()(0)()()(){();0}XtYttNtXtYtNtt设和是两个相互独立的,分别具有强度和的泊松过程,,则是强度为的泊松过程。{();0}Ntt证明:首先,是计数过程,因此只要证明其满足定义的三个条件即可。1()()(0)()()()XtYttNtXtYt()因为和是两个独立增量过程,因此也是独立增量过程。(2)对任意的和充分小的,有0t0t[()()1]{[()()][()()]1}PNttNtPXttXtYttYt[()()1][()()0][()()0][()()1]PXttXtPYttYtPXttXtPYttYt(1)(1)()()()ttttttt24(2)对任意的和充分小的,有0t0t[()()2]{[()()][()()]2}PNttNtPXttXtYttYt[()()0][()()2][()()1][()()1][()()2]()PXttXtPYttYtPXttXtPYttYtPXttXtt(3)(0)(0)(0)0NXY泊松过程的分解设表示内出现的事件数,而每次事件的发生又分为情形A或B。如进商场的人可能购物,可能不购物;收到的短信可能是有用的,可能是垃圾短信,等等。设情形A发生的概率为,情形B发生的概率为,且各事件属于A或B相互独立。表示内出现情形A的次数,表示内出现情形B的次数。若是强度为的泊松过程,则是强度为的泊松过程,是强度为的泊松过程,且过程与相互独立。()(0)Ntt(0,]tp1p()Xt(0,]t()Yt(0,]t{();0}Ntt{();0}Xttp{();0}Ytt(1)p{();0}Xtt{();0}Ytt0,0,{(),()}mnPXtmYtn对于任意的证明:因为N(t)是独立增量过程,所以X(t)和Y(t)也都是独立增量过程,且X(0)=0,Y(0)=0。接下来只要证明,X(t)和Y(t)相互独立,服从泊松分布即可。(1)()((1))[][]!!mnptptptpteemn{(),()}PXtmNtmn{()|()}{()}PXtmNtmnPNtmn()(1)()!mnmmntmntCppemn()!mptptem0{()}{(),()}nPXtmPXtmYtn(1)0()((1))[][]!!mnptptnptpteemn()(0,]{();0}10NttNtt例:设表示手机在天内收到的短信数,假设是强度为条的泊松过程,其中垃圾短信占20%。求(1)两天内至少收到10条短信的概率;(2)一天内没有收到垃圾短信的概率。2090201{(2)10}10.995!kkePNk解:()2{(1)0}0.135PXe()(0,]{();0}2XttXtt(2)设表示手机在天内收到的垃圾短信数,则是强度为条的泊松过程。1nWn设是第个质点出现等待的等时间的分布待时间,nnWnWFtPWtPNtn的分布函数(三)时间间隔与等待时间nnWWft下面给出的概率密度:0,nttn即第个质点出现的时间内至少个质点出现nnWnWFtPWtPNtn的分布函数