概率论与数理统计 数理统计基础

统计学认为，总体就是一个随机变量X，它的分布称为总体分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。概率论与数理统计从总体X中抽取部分个体，称为抽样，即是对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变量X1,X2,…,Xn，称为样本，其中n为样本容量，样本中的个体称为样品,样本观测值称为样本值。Review为使样本具有充分的代表性，常进行简单随机抽样，即要求：概率论与数理统计样本有随机性：总体中每个个体入选的机会相等，即每个样品与总体同分布；样本有独立性：每次抽样的结果不影响其它各次抽样的结果，即相互独立。简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。Review设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，g(X1，X2，…，Xn）是一个不含任何未知参数的连续函数，称g(X1，X2，…，Xn）为统计量。概率论与数理统计统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布。把统计量的概率分布称为抽样分布。Review11()(1,2,)nkkiiBXXkn设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本。niiXnX11常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设。2.样本方差：niiXXnS122)(11用于估计总体分布的方差。式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误。3.样本矩：K阶原点矩：111,2,nkkiiAXkn（）K阶中心矩：1AX2221nBssn1.样本均值:概率论与数理统计Review0,00,)2/(21)(2/12/2/yyeynΓyfynn222212nXXX321O65498721110151413101.002.003.004.0y)(yf1n2n4n6n11n随着自由度的增加曲线重心向右下方移动2是来自总体)1,0(~NX12,,,nXXX设的样本,令称服从自由度为的分布，记为2222.~()nn210()(0)xzΓzxedxz22221212~()nn且相互独立,则22221122~(),~(),nn2212,设22221212~()kknnn且22~(),1,2,,,iinik22212,,,k设相互独立,则,于是理解为可独立变化的r.v个数222212nYYY122212nXXX122212nXXX222212nYYY则22~(),n22(),()2EnDn设12r.v,,,nXXX取个独立同分布的n)1,0(N则与222212nXXX同分布221()()niiXEE21()niiEX1()niiDX11nin21()nDX42211{()[()]}nEXEX2421(1)2xnxedxnn2)13(221()()niiDDX2概率论与数理统计例1（131.例2）设61,,XX是来自总体)1,0(N的样本,又设26542321)()(XXXXXXY试求常数C,使CY服从2分布.概率论与数理统计随着自由度的增加曲线越来越趋近(0,1)N/XtYnt且,XY2~(0,1),~(),XNYn设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为tt.()~ttnnt2(1)/2[(1)/2]()1+,(/2)nΓnxfxxnnΓnO1x()fx234512345)2(t)9(t)1,0(N概率论与数理统计12//nUFnVF且,UV2212~(),~(),UnVn设相互独立,令称服从自由度为的分布，记为FF12.(,)~FFnn12(,)nnF()fx112121212/2/21212212[()/2],0(/2)(/2)()nnnnnΓnnxnnxΓnΓnnxn0,0x()fxO0.1x0.2)4,10(F)50,10(FF若12~(,),FFnn211~(,)FnnF则若~(),Ztn2~(1,)ZFn则例2（133.例4）设总体X服从标准正态分布,nXXX,,,21是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量522161,55niiiinYXXn服从何种分布?某学院今年将扩招硕士，预计招硕士新生100人，按入学考试成绩录取，现有1000人报名，可认为考试成绩X服从正态分布，经往年报考成绩数据估算，X～N(350,400).那么该学院今年应如何确定录取分数线？概率论与数理统计分位数：设随机变量X的分布函数为F(x),对给定的实数，(01)，若实数F满足{}PXF则称F为随机变量X分布的水平的上侧分位数。若实数/2T满足/2{||}PXT则称为随机变量X分布的水平的双侧分位数。概率论与数理统计例3（129.例1）设05.0,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.概率论与数理统计1{}PXu1()u{}PXu解()1u0.05()10.050.95u0.051.645u例3（129.例1）设05.0,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.概率论与数理统计/2{||}PXu/2/2{}PXuXu或/2/2{}{}PXuPXu/2/22{}2()PXuu/22(1())u/2()12u0.05/20.05()10.9752u0.0251.96u2分布：设12,,...nXXX是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...nXXX服从自由度为n的2分布，记为22~()n所谓自由度，通常是指不受约束，可以自由变动的变量个数。概率论与数理统计2分布性质：(1)2分布的数学期望与方差：若22~()n，则22(),()2EnDn(2)2分布的可加性：若2211~()m，2222~()n，且相互独立，则22212~()mn(3)2分布的分位数：设22~()n，对给定的实数(01)，称满足条件222(){()}()nPnfxdx的数2()n为分布的水平的上侧分位数。t分布:设2~(0,1),~()XNYn，且X与Y相互独立，则称XtYn服从自由度为n的t分布，记为~()ttn概率论与数理统计（3）t分布的分位数：设~()Ttn，对给定的实数(01)，称满足条件(){()}()tnPTtnfxdx的数()tn为()tn分布的水平的上侧分位数。由密度函数的对称性，可得1()()tntn上侧分位数：{()}PTtn双侧分位数：2{()}2PTtn概率论与数理统计例4（132.例3）设随机变量)1,2(~NX,随机变量4321,,,YYYY均服从)4,0(N,且)4,3,2,1(,iYXi都相互独立,令,)2(4412iiYXT试求T的分布,并确定0t的值,使.01.0}|{|0tTP解:X-2~N(0,1),Yi/2~N(0,1),i=1,2,3,4,因此242211~(4),2iiY概率论与数理统计4212~(4)16iiXTtY概率论与数理统计/2{()}2PTtn4212~(4)16iiXTtY0.01/20.01{(4)}2PTt0.005(4)4.6041tF分布：设22~(),~()XmYn，且X与Y相互独立，则称//XmnXFYnmY服从自由度为（m,n）的F分布，记为~(,)FFmn概率论与数理统计F分布的性质：（1）若~()Xtn，则2~(1,)XFn（2）若~(,)FFmn，则1~(,)FnmF（3）F分布的分位数：设~(,)FFnm，对给定的实数(01)，称满足(,){(,)}()FnmPFFnmfxdx条件的数(,)Fnm为分布的水平的上侧分位数。（4）F分布的分位数的一个重要性质：11(,)(,)FmnFnm抽样分布的途径：（1）精确地求出抽样分布，并称相应的统计推断为小样本推断；（2）让小样本容量趋于无穷，并求出抽样分布的极限分布。然后，在样本容量充分大时，再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布，进而对未知参数进行统计推断，称与此相应的统计推断为大样本推断。概率论与数理统计设总体的均值和方差X12,,,nXXXX是来自总体的样本，则都存在.222(),(),()EXDXESn11()()niiEXEXn11()niiEXn11()()niiDXDXn211()niiDXn2n2(1)nS2(),()EXDX21[()()]niiXX21()niiXX2211()2()()()nniiiiXXXnX221()()niiXnX2221()2()()niiXnXnX2221(1)()()()niinESEXnEX221ninn2(1)n22()ES概率论与数理统计抽样分布定理最重要的总体：2~(,)XN如何由样本12,,...nXXX推断，2？分析：对，2的推断是通过构造统计量实现的（1）如何构造“好”的统计量12(,,...)nXXX（2）12(,,...)ngXXX服从什么分布？统计推断中最重要的结论：五个抽样分布定理概率论与数理统计定理1设总体2~(,)XN，12,,...nXXX是取自X的一个样本，X为该样本的样本均值，则有（1）2~(,/)XNn（2）~(0,1)/XUNn概率论与数理统计定理2设总体2~(,)XN，12,,...nXXX是取自X的一个样本，X与2S为该样本的样本均值与样本方差，则有（1）222222111()~(1)niinSXXn（2）X与2S相互独立概率论与数理统计定理3设总体2~(,)XN，12,,...nXXX是取自X的一个样本，X与2S为该样本的样本均值与样本方差，则有（1）222211()~()niiXn（2）~(1)/XTtnSn概率论与数理统计