2017-2018学年高一数学上学期期末复习-专题03-二次函数、基本初等函数(I)讲义

专题03二次函数、基本初等函数（I）一、基础知识整合（一）二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝(a≠0)．ax2＋bx＋ca(x－h)2＋ka(x－x1)(x－x2)3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．根端点值端点顶点5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1＜x2＜m①02()0bmafmm＜x1＜x2②02()0bmafmx1＜m＜x2③f(m)0.(二)指数函数1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的，其中n＞1，且n∈N*.①当n为奇数时，正数的n次方根是一个数，负数的n次方根是一个数，这时a的n次方根用符号表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有个，这两个数互为．这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成．③负数没有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是，记作．n次方根正负na两相反数na－na±na00n＝0(2)根式：式子na叫做根式，这里n叫做，a叫做．(3)根式的性质：n为奇数时，nna＝；n为偶数时，nna＝.2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0＝.这里a0.(2)负整数指数幂：a－n＝(a≠0，n∈N*)．(3)正分数指数幂：mna＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)负分数指数幂：nma＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．根指数被开方数a|a|1≠1nanna1nna(5)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂等于．(6)有理指数幂的运算性质(0,,)()(0,,)()(0,)rsrsraaarsQaarsQabasQ0没有意义ar＋sarsarbr3．指数函数的图象及性质定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数图象a＞10＜a＜1定义域__________值域__________性质过定点__________在R上是______在R上是_____R(0，＋∞)(0，1)增函数减函数(三)对数函数1．对数(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的_______，记作x＝_______.其中a叫做对数的_______，N叫做_______．(2)两类重要的对数①常用对数：以_______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_______；②自然对数：以_______为底的对数称为自然对数，并把logeN记作_______．注：(i)无理数e＝2.71828…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝_______，logaa＝_______.对数logaN底数真数10lgNelnN01(3)对数与指数之间的关系当a＞0，a≠1时，ax＝N_______x＝logaN.(4)对数运算的性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝___________；②alogMN＝______________；③logaMn＝_____________；一般地，naMmlog＝_______；⇔logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaM(5)换底公式及对数恒等式①对数恒等式：②换底公式：logab＝_______(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝_______.Naalog=Nloglogaabalogcblogca2．对数函数的图象及性质定义一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1定义域____________值域____________性质过定点________在(0，＋∞)上是_____在(0，＋∞)上是_____(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数3.对数函数与指数函数的关系对数函数y＝logax(a0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(四)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xy＝xα2．几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数y＝xα(α∈R)图象α＞0α＜0性质(1)图象过点_______图象过点_______(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是_______在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是_______※(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸；当0＜α＜1时，图象上凸※在第一象限内，图象都下凸※(4)形如y＝mnyx或mnyx(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.(0，0)和(1，1)(1，1)增函数减函数（五）函数的图象1．作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象．(2)图象变换法．2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到．②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．y＝f(x＋a)右y＝f(x)＋b下(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于________、________、________对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线________对称．(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1时)或缩(A1时)到原来的_____________；②要得到y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)或缩(a1时)到原来的_____________．y轴x轴原点x＝mA倍1a倍(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．1.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是()A.5B.－5C.6D.－6二、自主小测解析由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.答案C2.已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab解析∵0a1，b0，c＝log1213＝log231.∴cab.答案D3.函数y＝ax－a－1(a0，且a≠1)的图象可能是()解析函数y＝ax－1a是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a1时，01a1，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1时，1a1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.D4.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.解析由m2－3m＋3＝1，m2－m－2≤0，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合答案1或25.若loga341(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.解析当0a1时，loga34logaa＝1，解得0a34；当a1时，loga34logaa＝1，解得a1.答案0，34∪(1，＋∞)二、热点题型展示类型一二次函数例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【答案】2447yxx＝－＋＋.【解析】解法一：(利用一般式)设2()0fxaxbxca＝＋＋，由题意得24211484abcabcacba解之得447abc∴所求二次函数为2447yxx＝－＋＋.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为2(1)122x，∴12m，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴21()()82fxax.∵f(2)＝－1，即21(2)812a.解之得a＝－4.∴21()4()82fxx，即2447yxx＝－＋＋.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即24(21)84aaaa，解之得a＝－4，∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1即2447yxx＝－＋＋.例2.已知函数2()(,)fxxaxbabR，记(,)Mab是|()|fx在区间[1,1]上的最大值.证明：（1）当||2a时，(,)2Mab；（2）当a，b满足(,)2Mab，求||||ab的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3；.【解析】（1）由22()()24aafxxb，得对称轴为直线2ax，由||2a，得||12a，故()fx在[1,1]上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}Mabff，当2a时，由(1)(1)24ffa，得max{(1),(1)}2ff，即(,)2Mab，当2a时，由(1)(1)24ffa，得max{(1),(1)}2ff，即(,)2Mab，综上，当||2a时，(,)2Mab；（2）由(,)2Mab得|1||(1)|2abf，|1||(1)|2abf，故||3ab，||3ab，由||,0||||||,0ababababab，得||||3ab，当2a，1b时，||||3ab，且2|21|xx在[1,1]上的最大值为2，即(2,1)2M，∴||||ab的最大值为3.【名师点睛】1．求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：①已知三个点的坐标时，常用一般式；②已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式更方便．2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次