概率论与数理统计 第六章第1节

数理统计第六章参数估计第一节点估计的几种方法点估计概念求估计量的方法课堂练习引言上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.总体样本统计量描述作出推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.随机抽样现在我们来介绍一类重要的统计推断问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计,或估计的某个已知函数.)(g现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体,总体的分布函数为F(x,)，其中为未知参数(可以是向量).参数估计点估计区间估计)1.0,(2N（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.69，这是点估计.这是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，例如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.一、点估计概念随机抽查100个婴儿,…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.例1已知某地区新生婴儿的体重,2~,XNμσ(,)μσ未知为估计:我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…Xn)中，估计值.T(X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，得到的一个点我们知道,若,由大数定律,1}|1{|lim1niinXnP自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.,11niiXnXniiXXnS122)(11样本体重的平均值2~,XNμσ()EXμ则.用样本体重的均值估计.Xμ类似地，用样本体重的方差估计.22Sσ使用什么样的统计量去估计？可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量.问题是:二、寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.1.矩估计法矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦定理,若总体的数学期望有限,EXμX则有11niiXXn()PEXμ11nkkiiAXn()(1,2,)PkkEXμk12(,,,)kgAAA12(,,,)Pkgμμμ其中为连续函数.g这表明,当样本容量很大时,在统计上,可以用样本矩去估计总体矩.这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数,这种参数点估计法称为矩估计法.理论依据:大数定律矩估计法的具体做法如下设总体的分布函数中含有k个未知参数,那么它的前k阶矩,一般12,,,kθθθ12,,,kμμμ都是这k个参数的函数,记为：i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k12(,,,)iikμμθθθ12(,,,)jjkθθμμμ那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,iμiμ12ˆ(,,,)jjkθθAAAjθ即可得诸的矩估计量：矩估计量的观察值称为矩估计值.例2设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知.是来自X的样本,试求a,b的矩估计量.1,,nXX解1μEX2ab22μEX2()12ba2()[()]DXEX2()4ab即1221212()abμbaμμ解得于是a,b的矩估计量为21213()aμμμ21213()bμμμ213(),niiaXXXn213()niibXXXn样本矩总体矩解1μEX22μEX2()[()]DXEX例3设总体X的均值和方差都存在,未知.是来自X的样本,试求的矩估计量.1,,nXXμ2(0)σ2,μσ2,μσμ22σμ解得1μμ2221σμμ于是的矩估计量为2,μσ211()niiXXn样本矩总体矩XA1ˆniiXXnAA12221221ˆ矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.X例4设总体的分布密度为xexf21);()0,(x为总体的样本,求参数的矩估计量.),,(21nXXXX解：由于只含有一个未知参数，一般只需求出便能得到的矩估计量，但是);(xf)(XEdxexdxxxfXEx21);()(解：由于只含有一个未知参数，一般只需求出便能得到的矩估计量，但是);(xf)(XE0即不含有,故不能由此得到的矩估计量.为此,求)(XEdxexdxxfxXEx||21222);()(dxexx021故令212ˆ21niiXnniiXn1221ˆ于是解得的矩估计量为22本例的矩估计量也可以这样求得dxexdxxfXXEx||21||);(||01dxxex故令ˆ||11niiXn即的矩估计量为||1ˆ1niiXn注:该例表明参数的矩估计量不唯一2.最大似然法它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.定义:设总体X的分布类型已知,但含有未知参数θ.(1)设离散型总体X的概率分布律为);(xp，则样本),,,(21nXXX的联合分布律niinxpxpxpxp121);();();();(称为似然函数，并记之为niinxpxxxLL121);();,,,()(.(2)设连续型总体X的概率密度函数为);(xf，则样本),,,(21nXXX的联合概率密度函数niinxfxfxfxf121);();();();(仍称为似然函数，并记之为niinxfxxxLL121);();,,,()(.似然函数：)(max)ˆ(LL最大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.)(Lˆ称为的最大似然估计值.ˆ看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,…,xn的一种度量.)(L)(L而相应的统计量称为的最大似然估计量.1(,,)nθXXθ)(L两点说明：1、求似然函数L()的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于ln(x)是x的增函数,lnL()与L()在的同一值处达到它的最大值，假定是一实数，且lnL()是的一个可微函数。通过求解方程：可以得到的MLE.0)(lndLd若是向量，上述方程必须用方程组代替.2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用最大似然原则来求.下面举例说明如何求最大似然估计L(p)=L(x1,x2,…,xn;p)例5设X1,X2,…Xn是取自总体X~B(1,p)的一个样本，求参数p的最大似然估计量.nixxiipp11)1(解：似然函数为:ppXi110~)1ln()()ln()(ln11pxnpxpLniinii对数似然函数为：niiniixnxpppL11)1()(niiniixnxpp11)1(对p求导并令其为0，)(111)(ln11niiniixnpxpdppLd=0得xxnpnii11ˆ即为p的最大似然估计值.从而p的最大似然估计量为111ˆ(,,)nniipXXXXn(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的最大似然估计值.求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度);(2)把样本联合分布率(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;(2)把样本联合分布率(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;(2)把样本联合分布率(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即的MLE;例6设总体X~N(),未知.是来自X的样本值,试求的最大似然估计量.1,,nxx2,μσ2,μσ2,μσ似然函数为解X的概率密度为xexfx,21)(222)(222()211(,)2ixμnσiLμσeπσ222()211(,)2ixμnσiLμσeπσ2222211(2)()exp[()]2nnniiπσxμσ于是22211ln(2)ln()222niinnLnLπσxμσ令211()0niiLnLxnμμσ2222211()022()niinLnLxμσσσ解得xxnnii11ˆniixxn122)(1ˆnxxx,,,21是一个样本值,估计量.例7.解记),,,,min(21)1(nxxxx).,,,max(21)(nnxxxx由于,,,,21bxxxan等价于,)1(xa,)(bxn故似然函数为设总体在],[ba上服从均匀分布,X未知,ba,试求的最大似然ba,,,0,1),,(bxaabbaxf其它的概率密度是X解故似然函数为,)(1),(nabbaL,,)()1(nxbxa对于满足条件,)1(xa)(nxb的任意,,ba有,)(1)(1),()1()(nnnxxabbaL)(nxb,)()1()(nnxx故ba,的最大似然估计值与最大似然估计量分别为)(nxb即),(baL在,)1(xa时取得最大值即),(baL即),(baL,)1(xa),(baL,)1(xa,min1)1(inixxaininxxb1)(max)(nxb即),(baL在,)1(xa时取得最大值即),(baL即),(baL,)1(xa),(baL,)1(xa故ba,的最大似然估计值与最大似故ba,的最大似然估计值与最大似故ba,的最大