概率论与数理统计 第四版课件第一章

休息结束第一章概率论的基本概念休息结束§1.1随机事件及其运算1)可在相同的条件下重复2)每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能的结果3)进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现这样的试验称为随机试验。在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机现象。样本空间——随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为S。样本空间的元素，称为样本点，常记为，S={}。随机事件——样本空间的子集,常记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合。(特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件)如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.基本事件事件B={掷出奇数点}Ai={掷出i点}i=1,2,3,4,5,6随机事件发生——组成随机事件的一个样本点发生。必然事件——全体样本点组成的事件,记为S每次试验必定发生的事件。不可能事件——每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事件，记为。休息结束例1随机试验及相应的样本空间E1:投一枚硬币3次，观察正面出现的次数1S{0,1,2,3}有限样本空间E2:观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数E3:观察某灯泡的寿命2S{0,1,2,3,}3S{t:t0}休息结束•事件的关系和运算Venn图AS随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算休息结束1.事件的包含——A包含于B事件A发生必导致事件B发生ASB2.事件的相等BAABBABA且休息结束3.事件的并(和)BA或BA——A与B的和事件事件A与事件B至少有一个发生n21A,,A,A的和事件——n1iiA,,,,21nAAA的和事件——1iiASBAAB休息结束4.事件的交(积)事件A与事件B同时发生——A与B的积事件BA或AB发生BAn21A,,A,A的积事件——n1iiA,,,,21nAAA的积事件——1iiASABBA休息结束5.事件的差——A与B的差事件BA发生事件A发生，但事件B不发生SBABAB休息结束6.事件的互斥(互不相容)AB——A与B互不相容（互斥）A、B不可能同时发生nAAA,,,21两两互斥n,,2,1j,i,ji,AAji,,,,21nAAA两两互斥,2,1j,i,ji,AAjiSAB休息结束7.事件的对立AB,ABS——A与B互相对立（互逆）每次试验A、B中有且只有一个发生称B为A的对立事件(or逆事件)，记为AB注意：“A与B互相对立”与“A与B互不相容”是不同的概念SAAB休息结束运算律事件运算集合运算对应吸收律ASSAAA(AB)AASAAA(AB)A重余律AA幂等律AAAAAA休息结束交换律ABBABAAB结合律)CB(AC)BA()BC(AC)AB(分配律)CB()CA(C)BA()CA)(BA()BC(A差化积)AB(ABABA休息结束运算顺序：对偶律BABABAABn1iin1iiAAn1iin1iiAA逆交并差，括号优先。休息结束例2利用事件关系和运算表达多个事件的关系:A,B,C都不发生——CBACBAA,B,C不都发生——CBAABC)AB(ABABAA发生，而B不发生——休息结束例3生产加工三个零件，分别用表示第i个零件为正品。用及事件的运算表示下列事件：（1）没有一个零件是次品，全是正品。(B1)（2）只有第一个是次品。(B2)（3）恰有一个是次品。(B3)（4）至少有一个是次品。(B4)123A,A,A123A,A,A解：1123BAAA（1）?AB12(2)3212AAAB(2)?AAAB3213(3)3213213213AAAAAAAAAB(3)3214AAAB(4)123AAA休息结束频率的稳定性实验者nnHfn(H)德.摩根（De.Morgan）204810610.5181蒲丰(Buffon）404020480.5069K.皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016K.皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬币”试验结果，有什么规律?1.2.1确定概率的频率方法§1.2概率的定义及确定方法这个事实表明，偶然现象背后隐藏着必然性。“频率稳定性”就是偶然性中隐藏的必然性。“频率稳定值”就是必然性的一种度量，反映了偶然现象发生可能性的大小。休息结束概率的统计定义为了研究事件A的概率，在相同的条件下，重复进行n次试验，若A出现（发生）了k次，则称为事件A的频率。nkf(A)n理论和试验都表明，当n充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：nnnkP(A)limf(A)limn休息结束1.2.2概率的公理化定义非负性公理：对每一个A，有P(A)≥0规范性公理：P(S)=1可列可加性公理：若A1,A2,…互不相容，有:)A(P)A(P)AA(P2121设E是随机试验，S是样本空间。如果对于E的每一事件A，赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果P(A)满足：休息结束概率的性质i.P()=0ii.有限可加性若A1,A2,…An,是两两互不相容的事件，则有：)A(P)A(P)A(P)AAA(Pn21n21休息结束iii.单调性设A,B是两个事件，若AB,则有：;)A(P)B(P)AB(PP(B)P(A).即推论：对任意事件A,B,有：P(BA)P(B)P(AB);休息结束iv.对于任一事件A0P(A)1v.（逆事件的概率）对于任一事件A，有：)A(P1)A(P休息结束S()(())PABPABAB证：()ABABABAB()()()PABPAPBABABB又3由性质可得证。vi.（加法公式）对于任意两事件A,B有：)AB(P)B(P)A(P)BA(P休息结束对于任意n个事件A1,A2,…An,有：nniiijijki11ijn1ijkni1n112nP(A)P(A)P(AA)P(AAA)(1)P(AAA)……一般地，请大家自己写出任意三个事件的加法公式。休息结束公理化定义没有告诉我们如何去确定概率。休息结束——最早研究的概率模型解:设A:得奇数.中基本事件的总数包含的基本事件数SA)A(P例掷一枚骰子,求得奇数的概率.显然,P(A)=3/6=1/2.§1.3等可能概型（古典概型）休息结束1）随机试验或观察的所有可能结果为有限个，每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果；中基本事件的总数包含的基本事件数SA)A(P其特征为：2）每一个结果发生的可能性相同。对古典概型,某随机事件A发生的概率:休息结束古典概率计算举例例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：ISCNCE的概率有多大？E休息结束解：七个字母的排列总数为7！拼成英文单词SCIENCE的情况数为422故该结果出现的概率为：41p0.000797!1260休息结束例2某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率。解：问：错在何处？=0.30245105Pp105105Cp10例3设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率。解：令B={恰有k件次品}knkMNMnNCCP(B)C这是一种无放回抽样.次品正品M件次品N-M件正品超几何分布将m个球等可能地分到M个盒中，每一个盒子的容量不限。考察以下各种分法的概率：1）A：某指定的m个盒子中各有一球；2）B：恰有m个盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有k球(km)例5分球问题解:所有可能的分法有：Mm种m(m1)(m2)1m!种mm!p(A)M所以A成立的分法有:1）A：某指定的m个盒子中各有一球；休息结束B成立的分法有种mMCm!mMmCm!P(B)M所以2）B：恰有m个盒子中各有一球。返回休息结束3）C:某指定的盒子中恰有k球(km)C成立的分法有种kmkmC(M1)kmkmmC(M1)P(c)M所以休息结束某班有50位同学，他们中至少有2位在同一天过生日的概率是多少?5036550C50!1365例6生日问题p1P(B)0.97公式休息结束n202330405064100p.970一般地，有：.411.507.706.891.997.9999997休息结束分组问题例730名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组101010302010()NSCCC30人(1)(2)(3)30!20!110!20!10!10!30!10!10!10!休息结束1!!....!mnnn一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：休息结束27!3!509!9!9!(1)()()203PANS30人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名运动员集中在一个组”包括“3名运动员都在第一组”,“3名运动员都在第二组”,“3名运动员都在第三组”三种情况.)71010107101010727201027171027177()30!10!10!10!18203CCCCCCCCCPB休息结束71010272010318()30!20310!10!10!CCCPB30人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名运动员集中在一个组”相当于“取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.)休息结束§1.4条件概率引例袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。设A:取到的球是白球。B:取到的球是木球。求：1)P(A);2)P(AB);3)在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。休息结束白球红球小计木球426塑料球314小计7310解：107nk)A(P).1A104nk)AB(P).2AB列表3).所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为ABPABAPk4n(BA)7ABAknnnP(AB)P(A)休息结束定义：设A、B为两事件,P(B)0,则称为事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率。记为P(AB)P(B)PABP(AB)P(AB)P(B)即一般地,我们有:休息结束若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有上式。ABABS休息结束条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：可列可加性iii1i1P()P()ABAB规范性P()1SB非负性P()0AB休息结束P(AB)1P(AB)121212P(AAB)P(AB)P(AB)P(AAB)12112P(AAB)P(AB)P(AAB)休息结束条件概率的计算1)用定义计算:P(AB)P(A|B),P(B)P(B)02)从加入条件后改变了的情况去算。例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31在缩减样本间中A所含样点个数B发生后的缩减样本空间所含样本点总数例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解:设A={