概率论与数理统计 谢永钦

概率论与数理统计概率论与数理统计谢永钦21.确定性现象和不确定性现象.2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.第一章概率论的基本概念前言3.概率与数理统计的广泛应用.3§1.随机试验E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.4随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果.5§2.样本空间与随机事件(一)样本空间:定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S.样本空间的元素称为样本点，用表示.样本空间的分类:1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例E1,E2等.2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例灯泡的寿命{t|t≥0}.6(二)随机事件定义样本空间S的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.基本事件:复合事件:必然事件:不可能事件：由一个样本点组成的单点集.如:{H},{T}.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.如:E3中{出现正面次数为奇数}.样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。空集φ不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。7例1.试确定试验E2中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.8（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系:BA)1(ABS若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB.若AB且AB,即A=B,则称A与B相等.9.,A,AB.A,BA,BA,.}|{121kkABABxAxxBA的和事件记为可列个事件记的和与称为中至少有一个发生即的和事件与称为或BASBA(2)2.和事件:3.积事件：事件AB={x|xA且xB}称A与B的积，即事件A与B同时发生.AB可简记为AB.类似地,事件为可列个事件A1,A2,...的积事件.1kKABASBA)3(104.差事件:事件A-B={x|xA且xB}称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.即:ABAB-A显然:A-A=,A-=A,A-S=ABBA)4(s11.,,,不能同时发生与即或互斥的是互不相容的与则称若BABABABAAB5.事件的互不相容(互斥):12.,,:.且仅有一个发生个发生中必然有一与事件在一次实验中即为对立事件互为逆事件，也称与，则称且若BABABASBA.,.ABBABAAA或互为对立事件，则记为与若的对立事件记为6.对立事件(逆事件)：SABAB13.ABBAABBA；7.事件的运算律:).CA()BA()CB(A);CA()BA()CB(A.BABA;BABA交换律:结合律:对偶律:C.B)A(C)(BA;CB)A(C)(BA分配律:证明对偶律.14则有两两互不相容，、、事件例.CBA不成立反之ABC例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：.,,,,,3132213212121322AAAAAAAAAAAAAAAA15§3.概率的概念一.古典定义：等可能概型的两个特点:例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.概率的古典定义:对于古典概型,样本空间S＝{1,2,…,n},设事件A包含S的k个样本点，则事件A的概率定义为)(nkSAAP中的基本事件总数中的基本事件数16古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求,且把事件A表示成S的某个子集.(2)计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.(3)用下列公式计算:)(nkSAAP中的基本事件总数中的基本事件数17例1.袋中装有4只白球和2只红球.从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:(a)放回抽样;(b)不放回抽样.求:(1)两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率.例2.设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,现从中任取3只,试求:(1)取到1号球的概率,（事件A）(2)最小号码为5的概率.（事件B）18例3.某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.注19二、几何定义:定义,,,,,0(),.m若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20定义当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为)()()(mAmAP说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率..))(,)((几何概率规定的概率称为量来合理这样借助于几何上的度的子区域的度量是构成事件是样本空间的度量其中AAmm21例1甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不相关.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题22蒲丰投针试验例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为l(a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.axM23几何概型的概率的性质0()1;pA(1)对任一事件A,有210PP()(),();)()()(,,,)3(212121APAPAAPAA个事件对于两两互斥的可列多24三.统计定义:(一)频率1.在相同的条件下,共进行了n次试验,事件A发生的次数nA,称为A的频数,nA/n称为事件A发生的频率,记为fn(A).频率的基本性质：.2（非负性）；）（10)1(Afn（规范性）;1)()2(Sfn则两两互不相容，，）若（,A,AA3k21)(21knAAAf有限可加性）).(()()(21knnnAfAfAf3.频率的特性:波动性和稳定性.251.定义:设S是样本空间,E是随机试验.对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件A的概率,其中集合函数P(.)满足下列条件:(1)对任一事件A,有P(A)≥0;(非负性）(2)P(S)=1;（规范性)(3)设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…(可列可加性)四.概率公理化定义:262.概率的性质：.0)(P.1性质则是两两互不相容的事件若性质,An,,A2,A1.2)().An(P)A2(P)A1(P)AnA2A1(P有限可加性);A(P)B(P)AB(P,BA.3则有若性质).A(P)B(P一般地有:P(B-A)=P(B)-P(AB).27.1)A(P,A.4对任一事件性质).A(P1)A(P,A.5对任一事件性质).AB(P)B(P)A(P)BA(PB,A.6有对任意两事件性质推广)CBA(P).()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP)AAA(Pn21).AAA(P)1()AAA(P)AA(P)A(Pn211nnkji1kjinji1jin1ii28例4.设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用p,q,r表示下列事件的概率:).((4)P);((3));((2));()1(BABAPBAPBAP29§5.条件概率(一)条件概率:设试验E的样本空间为S,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率问题.例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).1.定义:设A,B是两个事件,且P(A)0,称P(A)P(AB)A)|P(B为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.302.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即0.A)|P(B1B,10有对于每一个事件1.A)|P(S20.A)|P(B)A|BP(,,B,B31ii1ii210则两两互不相容设此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：0.A)|P((1)则两两互不相容,B,,B,B(2)n21设.A)|P(BA)|BP(n1iin1ii31).A|B(P1)A|BP((3)A).|P(BC-A)|P(CA)|P(BA)|CP(B(4)注当A＝S时,P(B｜S)=P(B),条件概率化为无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率.计算条件概率有两种方法:然后按公式计算先计算P(AB),P(A),.P(A)P(AB)A)|P(B1.公式法：322.缩减样本空间法：在A发生的前提下,确定B的缩减样本空间,并在其中计算B发生的概率,从而得到P(B|A).例2.在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个数码,取后不放回,连取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.33(二)乘法公式:A).|P(A)P(BP(AB)0,P(A),则有立即可得由条件概率定义P(AB)0,则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般,设A1,A2,…,An是n个事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)0,则有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).推广34r只红球○t只白球○例3.每次任取一只球观察颜色后,放回,再放回a只同色球在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.35(三)全概率公式和贝叶斯公式:1.样本空间的划分:B,,B,B:n21一组事件满足若定义n,...,2,1,ji,j,i,BB(i)jiφ,SB(ii)n1ii.SB,B,Bn21的一个划分本空间为样则称SB1B2B3...Bn注(1)若B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,…,Bn中必有一个且仅有一个发生..BB,B,B,SB,B,2n)2(212121即对立事件为则的一个划分为时当362.全概率公式:则的事件为的一个划分为设,EAn),,2,1,(i0,)P(B,SB,B,Bin21n1iii)B|)P(AP(BP(A)称为全概率公式.3.贝叶斯公式:n....,2,1,i,)B|)P(AP(B)B|)P(AP(BA)|P(B,0)(0,)P(B,,...,,n1jjjiiii21则有是一个随机事件且且的下个划分是样本空间设APASBBBn37例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的,数据如下:元件制造厂次品率提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05(1)任取一只晶体管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,则由三家工厂生产的概率分别是多少?38例5.对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%,每天早晨