概率论与数理统计 重要公式

一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式BABA，BABA古典概型()mAPAn包含的基本事件数基本事件总数几何概型()()()APA，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式)(1)(APAP加法公式P(A∪B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0（A、B互斥）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式乘法公式)()()(APABPABP()()()()()PABPAPBAPBPAB()()()()PABCPAPBAPCAB全概率公式1()()()niiiPAPBPAB从原因计算结果贝叶斯公式（逆概率公式）1()()()()()iiiniiiPBPABPBAPBPAB从结果找原因两个事件相互独立()()()PABPAPB；()()PBAPB；)()(ABPABP；二、随机变量及其分布1、分布函数()()(),()()()()kkxxxPXxFxPXxPaXbFbFaftdt概率密度函数计算概率：2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0-1分布X～b(1,p)1,0,)1()(1kppkXPkk二项分布(贝努利分布)X～B(n,p)nkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(泊松分布X～p()(),0,1,2,!kPXkekk3、续型型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布x～U(a,b)其他,0,1)(bxaabxf0,(),1,xaxaFxaxbbaxb指数分布X～E()0,00,)(xxexfx0,00,1)(xxexFx正态分布x～N(2,)22()21()2xfxex22()21()d2txFxet标准正态分布x～N(0,1)221()2xxex2121()2txxedt1)(dxxfbadxxfbXaP)()(一般正态分布的概率计算公式分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,jiijgxyPYypi，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())YXfyfhyhyxhy单调h(y)是g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,ijijPXxYypij联合分布函数(,)iiijxxyyFXYp边缘分布律：()iiijjpPXxp()jjijipPYyp条件分布律：(),1,2,ijijjpPXxYyip，(),1,2,ijjiipPYyXxjp联合密度函数2、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质分布函数：xydudvvufyxF),(),(性质：2(,)(,)1,(,),FxyFfxyxy((,))(,)GPxyGfxydxdy②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(③条件概率密度yxfyxfxyfXXY,)(),()(，xyfyxfyxfYYX,)(),()(xdttfxXPxF)()()(xkkXPxXPxF)()()()()('xfxFxdttfxXPxF)()()(1),(0yxF},{),(yYxXPyxF),(yxf0),(yxf1),(dxdyyxf)()()(aaXPaXP)(1)()(aaXPaXP)()()(abbXaP3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立(,)()()XYFxyFxFy，连续型：(,)()()XYfxyfxfy离散型：..ijijppp，4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)离散型：()(,)ijkkijxyzPZzPXxYy注意部分可加性连续型：()(,)(,)Zfzfxzxdxfzyydy四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型1)(kkkpxXE，连续型dxxxfXE)()(②性质：(),ECC)()]([XEXEE，)()(XCECXE，)()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()(，当X、Y相互独立时：)()()(YEXEXYE(正对逆错)随机变量g(X)的数学期望2、方差①定义：②性质：0)(CD，)()(2XDabaXD，),(2)()()(YXCovYDXDYXD当X、Y相互独立时：)()()(YDXDYXD3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()CovXYEXYEXEY，当X、Y相互独立时：0),(YXCov②相关系数：(,)()()XYCovXYDXDY，当X、Y相互独立时：0XY(X,Y不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(XDXXCov，),(),(XYCovYXCov),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov，),(),(YXabCovdbYcaXCovCov(x,a)=0(a为常数)，),(2)()()(22YXabCovYDbXDabYaXD4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望E（X）方差D（X）0-1分布),1(pbpp(1-p)二项分布),(pnbnpnp(1-p)泊松分布)(P均匀分布),(baU2ba12)(2ab正态分布),(2N2指数分布)(e121}{}{},{jYPiXPjYiXPkkkpxgXgE)())((五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)(})({XDXEXP2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Ci2，则：niiPniinXEnXn11)(),(11②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则0，有：lim1AnnPpn③辛钦大数定律：若1,,nXX独立同分布，且)(iXE，则nPniiXn113、★中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)iXi，均值为，方差为02，当n充分大时有：1()(0,1)~nnkkYXnnN②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~pnBX，则对任意x有：221lim{}()(1)2txnXnpPxedtxnpp③近似计算：1()()()nkkbnanPaXbnn六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体X～F(x)，则样本的联合分布函数)(),(121knknxFxxxF2、统计量样本均值：niiXnX11，样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11样本标准差：niiXXnS12)(11，样本k阶原点距：2,1,11kXnAnikik样本k阶中心距：11(),1,2,3nkkiiBXXkn3、三大抽样分布(1)2分布（卡方分布）：设随机变量X～B(0,1)(1,2,,)in且相互独立，则称统计量222212nXXX服从自由度为n的2分布，记为)(~22n性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2nYNX，且X与Y独立，则称统计量：nYXT服从自由度为n的t分布，记为)(~ntT。性质：①()0(1),()(2)2nETnDTnn②221lim()()2xnnfxxe(3)F分布：设随机变量22~(),~()XmYn，且X与Y独立，则称统计量(,)XmFmnYn服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为~(,)FFmn，性质：设~(,)FFmn，则1~(,)FnmF。七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)nXXXL估计总体参数，称12(,,,)nXXXL为的估计量，相应的12(,,,)nxxx为总体的估计值。2.点估计中的极大似然估计设12,,nXXXL取自X的样本，设~(,)Xfx或~(,)XPx，求法步骤：①似然函数：11()(,)()()(,)()nniiiiiLfxLPx连续型或离散型②取对数：1ln()ln(,)niiLfx或1ln()ln(,)niiiLpx③解方程：1lnln0,,0kLLL，解得：111212(,,,)(,,,)nkknxxxxxx3.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设12(,,,)nxxxL为未知参数的估计量。若E(）=，则称为的无偏估计量。有效性设1112(,,,)nxxxL和2212(,,,)nxxxL是未知参数的两个无偏估计量。若12()()DD，则称12比有效。一致性设n是的一串估计量，如0，有lim(||)0nnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。正态总体中，样本均值X是的无偏估计量修正样本方差2S是2的无偏估计量5.区间估计单正态总体参数的置信区间八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。基本步骤①提出原假设H0；②选择检验统计量1(,,)ngXXL；③对于α查表找分位数λ，使1((,,))nPgXXWL，从而定出拒绝域W；④由样本观测值计算统计量实测值1(,,)ngxx；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。第一类错误：当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。“弃真错误”P{拒绝H0|H0为真}=第二类错误：当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。“取伪错误”P{接受H0|H1为真}=2.单正态总体均值和方差的假设检验条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1的置信区间已知2/XZn(0,1)N22,xzxznn未知2/XTSn(1)tn22(1),(1)SSxtnxtnnn未知2222(1)nS2(1)n2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn未知2221niiX2()n221122122()(),()()nniiiiXXnn