因式分解公式法十字相乘法教师版

1/172、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式ababab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322()()补充：欧拉公式：abcabcabcabcabbcca3332223()()12222()[()()()]abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把aabb2222分解因式的结果是（）A.()()()abab22B.()()abab2C.()()abab2D.()()abba2222分析：aabbaabbab22222222212111()()。再利用平方差公式进行分解，最后得到()()abab2，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。解：根据已知条件，设221322xxmxxaxb()()则222123232xxmxaxabxb()()2/17由此可得21112023aabmb()()()由（1）得a1把a1代入（2），得b12把b12代入（3），得m123.在几何题中的应用。例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。分析：因为题中有abab22、、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解：abcabbcac22202222220222abcabbcac()()()aabbbbcccaca2222222220()()()abbcca2220()()()abbcca222000，，abbcca000，，abcABC为等边三角形。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2123nn，（n为整数）则()()232122nn()()()()2321232124481nnnnnn由此可见，()()232122nn一定是8的倍数。5、中考点拨：3/17例1：因式分解：xxy324________。解：xxyxxyxxyxy32224422()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2883223xyxyxy_________。解：288244322322xyxyxyxyxxyy()222xyxy()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。解：aabbaccbc222222()()abcabc222()abc2ambmcm121122123，，原式()abc2()()()1211221231422mmmm说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550证明：abcabcabcabcabbcca3332223()()把abcabc00333，代入上式，可得abc0，即a0或b0或c0若a0，则bc，abc5550若b0或c0，同理也有abc5550说明：利用补充公式确定abc，，的值，命题得证。例3.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。解：xyxyxxyy332227()()且xxyy2294/17)1(92322yxyxyx，又xxyy2292()两式相减得xy0所以xy229说明：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】1.分解因式：（1）()()aa23122（2）xxyxyx5222()()（3）axyaxyxy22342()()()2.已知：xx13，求xx441的值。3.若abc，，是三角形的三条边，求证：abcbc222204.已知：210，求2001的值。5.已知abc，，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，，试求（1）abc的值；（2）abcbcacab()()()111111的值。【试题答案】1.（1）解：原式[()()][()()]aaaa231231()()4123aa()()4123aa说明：把aa231，看成整体，利用平方差公式分解。（2）解：原式xxyxxy5222()()xxyx2321()()xxyxxx22211()()()（3）解：原式()[()()]xyaaxyxy2222()()xyaxy222.解：()xxxx121222xxxx2222112327()()()xxxx222441491249，xx441473.分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明：abcbc2222abbccabcabcabc222222()()()()5/17abc，，是三角形三边abc0且abc()()abcabc0即abcbc222204.解210()()1102，即31032001366711()5.分析与解答：（1）由因式分解可知abcabcabc3333()()abcabbcca222故需考虑abcabbcca222值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：（1）abcabc3333abcabc33330又abcabc3333()()abcabcabbcca222()()abcabcabbcca2220而abcabbccaabbcca22222212[()()()]abc，，不全相等abcabbcca2220abc0（2）abc0原式1222abcabcbcacab[()()()]而abc0，即abc()原式1333abcbcbc[()]13abcbcbc[()]133abcabc()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式xabxabxaxb2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项axbxc2（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数acac1122，，，满足6/17aaaccc1212，，并且acacb1221，那么二次三项式axbxc2即aaxacacxcc122122112可以分解为axcaxc1122。这里要确定四个常数acac1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知：xx211240，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：xx211240xxxxxxxx3803080308083或或例2.如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成xx22，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，由此分为两种情况进行讨论。解：（1）设原式分解为xaxxbx2212，其中a、b为整数，去括号，得：xabxxabx43222将它与原式的各项系数进行对比，得：abmabm1122，，解得：abm101，，此时，原式xxx2221（2）设原式分解为xcxxdx2221，其中c、d为整数，去括号，得：xcdxxcdx43222将它与原式的各项系数进行对比，得：cdmcdm1122，，解得：cdm011，，此时，原式xxx22212.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyxxyy22220，求长方形的面积。7/17分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：xyxxyy22220xxyyxyxyxyxyxy22222020210()xy20或xy10又xy8xyxyxyxy208108或解得：xy53或xy3545..∴长方形的面积为15cm2或6342cm3、在代数证明题中的应用例.证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则810322xxyy是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一：810323422xxyyxyxy2234647xyxyxyy∵4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）∴223xy是7的倍数而2与7互质，因此，23xy是7的倍数，所以810322xxyy是49的倍数。证明二：∵4xy是7的倍数，设47xym（m是整数）则yxm47又∵810323422xxyyxyxy21221447714214923xxmxxmmxmmxm∵x，m是整数，∴mxm23也是整数所以，810322xxyy是49的倍数。4、中考点拨8/17例1.把22224954yyxyx分解因式的结果是________________。解：22224954yyxyx