2.2.1对数与对数运算

新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆328探究三个数2、3、8之间存在的运算关系：(1)两个数2、3通过什么运算可以得到8？如何表示？答：2的3次方等于8，是乘方运算，表示为：382(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：2log83(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：（谁的3次方等于8）（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）引入一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作1,0aaNax,logNxa其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数常用对数：自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。Nelog并且把简记作。Nln新课教学我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作.N10logNlg例如：1642216log41001022100log102421212log401.0102201.0log10根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，Nax.logNxa新课教学1.是不是所有的实数都有对数？logaN＝b中的N可以取哪些值？负数与零没有对数，即：N02.根据对数的定义以及对数与指数的关系，loga1＝?logaa＝?loga1＝0，logaa＝1探究：在ab＝N中,b=logaN，则有log.aNaN3.对数恒等式bNNaablog(a＞0,a≠1)例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：；＝62554(1)；＝64126(2)；201.0lg(3).303.210ln(4)；4625log5(1)；6641log2(2)；01.0102(3).10303.2e(4)解：范例例2.求下列各式中x的值：；＝32log64x(1)；＝68logx(2);100lgx＝(3)解：；＝32log64x(1)因为所以；＝＝）＝（＝－－－1614464232332x,68log＝x(2)因为；＝＝）＝（＝22282161361x所以,86＝x,100lgx＝(3)因为所以,10010x,10102x2x于是范例求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．解：由题意得1－2x01－2x≠13x＋20⇒x12x≠0x－23⇒－23x12.x≠0所以x的取值范围是{x|－23x12且x≠0}．思考：问题提出：•对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？•指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？(1)设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴MN=paqaqpaqpMNalog即证得NM(MN)aaalogloglog证明：新课教学两数积的对数,等于各数的对数的和(2)设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN即证得∴qpaaqpaqpNMalogNMNMNMaaalogloglog证明：新课教学两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数(3)设,logpMa由对数的定义可以得：,paM∴npnaMnpMnalog即证得R)M(nnManaloglog证明：新课教学幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．其他重要公式1:NmnNanamloglog证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaN新课教学其他重要公式2:aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca由对数的定义可以得：,paN证明：设pNalogpccaNloglogapNccloglogaNpccloglog即证得aNNccalogloglog这个公式叫做换底公式新课教学其他重要公式3:abbalog1log),1()1,0(,ba证明:由换底公式aNNccalogloglog取以b为底的对数得：abbbbalogloglog1logbbabbalog1log还可以变形,得1loglogabba(1)zxyzxyaaalog)(loglog(2)3121232log)(loglogzyxzyxaaazyxaaalogloglog31212logloglogzyxaaazyxaaalog31log21log2解：例3.用,logxa,logyazalog表示下列各式：32log)2(;(1)logzyxzxyaa范例例4.计算：（1）)42(log752（2）27log9（3）8log7log3log732范例522log1422log=5+14=19解：)42(log752522log724log(1)3log2332327log9333log2(2)（1）)42(log752（2）27log9范例2lg2lg32lg2lg3=32lg3lg3lg7lg7lg8lg解：8log7log3log732(3)（3）8log7log3log732范例1.求下列各式的值：（4）15log5log33（2）2lg5lg（3）31log3log55（1）3log6log221101课堂练习课堂小结(1)对数的概念：对数、底数、真数；常用对数；自然对数。(2)对数的运算：积、商、幂的对数运算法则；3个重要公式。