2.2.1条件概率(一)

2.2.1条件概率（一）高二数学选修2-3知识回顾1.古典概型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；()mPAn每个基本事件出现的可能性相同.2.几何概型()dPAD的测度的测度试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；每个基本事件出现的可能性相同.我们知道求事件的概率有加法公式：注:1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为(或);ABAB3.若为不可能事件,则说事件A与B互斥.AB复习引入：()()()PABPAPB若事件A与B互斥，则.那么怎么求A与B的积事件AB呢?2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为(或);ABAB3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？{,,}YNYNNNYNNNY若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么所有可能的抽取情况为{}BBNNY用表示最后一名同学抽到中奖奖券的则事件，()1()()3nBPBn由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为：分析：一般地，我们用来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间）一般地，n(B)表示事件B包含的基本事件的个数情境探究思考1：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？分析：不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A，{,}ANYNNNY则最后一名同学抽到奖券的概率为YN若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，{}BBNNY用表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则注：P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率()1()()2nBPBnA1()2PBA分析：若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成样本空间缩小了，基本事件总数减少了所以概率会发生变化了。{,,}YNNNYNNNY{,}ANYNNNY思考2：为什么知道第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学的抽到中奖奖券的概率？探究2四位学生站成一排照相，求：(1)事件A：甲站在排头的概率；(2)事件B：乙站在排尾的概率；★已知甲站在排头，求乙站在排尾的概率？缩小了样本空间，基本事件总数减少了！　41)(4433AAAp　41)(4433AABp　31)|(3322AAABp(3)事件A、B同时发生的概率；　121)(4422AABAp　)()(AnBAn　)()(APBAP())()(nABnPAB()()()PAAnn(|)?PBABAAB已知A发生思考：计算,涉及事件A和AB，那么用事件A和AB的概率P(A)和P(AB)可以表P(B|A）吗？()PBA1.定义一般地，设A，B为两个事件，且，称)()(PABPPAAB()0PA为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A）读作A发生的条件下B发生的概率，条件概率（conditionalprobability）P(B|A）相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。BAA∩B()()()()nABPBPABAPAAnP(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？2.条件概率的性质：（1）有界性：01PBAPBCAPBAPCA（2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则推论：乘法公式：()()()()()PABPBAPAPABPB特别：如果A和B是互斥事件，则P(B|A)=0.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大比一般来说中样本点数中样本点数中样本点数中样本点数则用古典概率公式发生的概率计算中表示在缩小的样本空间而的概率发生计算中表示在样本空间3.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系基本概念例1在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；解：设Ω为“从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间，“第1次抽到理科题”为事件A，211534()123()20,()12,()(1.5)()20nAnAnAAAPAn23n(AB)63n()6,(().n()20210)APABAB3()110(|1().3()253)PABPBAPA法()61(|)(1222)nABPBAnA法“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。你能归纳出求解条件概率的一般步骤吗？想一想((())())PABPAnABPBAnA求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)(3)利用条件概率公式求练习1：厂别甲厂乙厂合计数量等级合格品次品合计47564411912556815007002001一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_________；（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是_________；27400120练一练1.掷两颗均匀骰子,问:⑴“第一颗掷出6点”的概率是多少？⑵“掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?⑶“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566616263646566nBPBn61366解：设Ω为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件AB(1)（2)（3）nAPAn61366nABPBAn0312|62PABPBAP011|2A∩BA∩BBA2.如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B，求P(A|B),P(B|A),解：∵，,1()9PAB1()3PA1()()19(|)449PABPABPB4()9PB1()19(|)13(3)PAPABPBA练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，1()12%2()()18%3PABPABPB（）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是2()12%3()()20%5PABPBAPA（）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？∵{甲乙两市至少一市下雨}=A∪B而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=20%+18%-12%=26%∴甲乙两市至少一市下雨的概率为26%解：设A={甲地为雨天}，B={乙地为雨天}，则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。12iAAA（1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得112()()()PAPAPAA1911101095例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。B（2）用表示最后一位按偶数的事件，则112()()()PABPABPAAB14125545112(12)()2iiAiAAAA解：设第次按对密码为事件，则表示不超过次就按对密码。1.条件概率的定义.2.条件概率的性质.3.条件概率的计算方法.一、基本知识二、思想方法1.由特殊到一般2.类比、归纳、推理(1)有界性（2）可加性（古典概型）（一般概型）3.数形结合()()nABPBAnA()()0()PABPAPAPBA()()PABPPAAB收获4.求解条件概率的一般步骤用字母表示有关事件求相关量代入公式求P(B|A)