2.2.2 椭圆的简单几何性质

单位：黑龙江省佳木斯市第二中学作者：王波2.2.2椭圆的简单几何性质1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）.（重点）2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.（重点）3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.（难点）通过视频介绍国家大剧院。为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢?国家大剧院采用椭球设计10cm8cm长方形如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？范围由22221xyab+=即-a≤x≤a,-b≤y≤b说明：椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中112222byax和oyB2B1A1A2F1F2cabx以焦点在X轴上的为例：范围F2F1Oxy椭圆关于y轴对称对称性F2F1Oxy椭圆关于x轴对称A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称椭圆的对称性从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于成中心对称。)0(12222babyaxyx原点坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）椭圆顶点坐标为：1.椭圆与它的对称轴的四个交点—椭圆的顶点.回顾：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).焦点坐标(±c，0)oxyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab（a＞b＞0）以焦点在X轴上的为例：顶点与长短轴123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1004.椭圆的离心率oxyace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，请问：此时椭圆的变化情况？b就越小，此时椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，请问：此时椭圆又是如何变化的？b就越大，此时椭圆就越圆即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。结论：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近圆。内容升华两个范围，三对称四个顶点，离心率1.问:对于椭圆与椭圆369:221yxC11216:222yxC更接近圆的是.2C定义与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)标准方程几何图形顶点坐标对称轴焦点坐标离心率oxyoxy,00,ab0,,0ab2,2xyab轴，轴，长轴长短轴长22,0ccab220,ccab01ceea22221xyab+=22221yxab+=解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：1162522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置.例4求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标例4求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标解：把已知方程化成标准方程2222154xy+=这里，31625,4,5cba因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率6.053ace焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率3/5。（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为22194xy22110064xy⑵22110064yx或【易错提醒】忽视椭圆焦点的位置情况致误若椭圆的离心率为,则k=.【解析】当焦点在x轴上时①,a2=k+4,b2=4,∴c2=k.∵e=,∴即∴22xy1k44121222c1,a4k1,k444k.3当焦点在y轴上时,a2=4,b2=k+4,∴c2=-k.由e=,∴,∴.∴k=-1.综上可知,k=或k=-1.答案:或-11222c1a4k1444343【防范措施】1.性质的转化应用椭圆的性质是高考的重要内容,特别是与离心率有关的问题.在利用性质解决问题时要注意题目中的条件转化.2.隐含条件的提防在解决椭圆方程问题时,要提防题干中的隐含条件,如本例方程中,形式上好像是k+44,但当k0时,k+44,这时要分情况讨论.2.椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．02，A椭圆的标准方程为：；11422yx椭圆的标准方程为：；116422yx解：（1）当为长轴端点时，，，2a1b02，A（2）当为短轴端点时，,，2b4a综上所述，椭圆的标准方程是或11422yx116422yx02，A学案课后习题