2013届高考数学一轮复习讲义 4.9 正弦定理、余弦定理应用举例

一轮复习讲义正弦定理、余弦定理应用举例1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解忆一忆知识要点要点梳理两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解忆一忆知识要点要点梳理2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．忆一忆知识要点要点梳理(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．例1如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？测量距离问题在△ABD中，可考虑正弦定理，在△BCD中，可考虑用余弦定理求CD.解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．探究提高要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．变式训练1解如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．探究提高如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.变式训练2解(1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×160＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BCsin∠D，∴BC＝CD·sin∠Dsin∠DBC＝100×sin15°sin135°＝100×6－2422＝506－22＝50(3－1)(米)．在Rt△ABE中，tanα＝ABBE.∵AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(3－1)·32＝25(3－3)(米)．设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟．则t＝EC6000×60＝253－36000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(米)．即所求塔高AB为25(3－3)米．例3如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．几何中的正、余弦定理应用问题由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值．在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可．解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，sin∠ABC＝AC·sin∠BCAAB＝9sin30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理：ABsin∠BDA＝BDsin∠BAD，解得BD＝922.故BD的长为922.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形．在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．探究提高如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.变式训练3解(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°，所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE中，AB＝2，由正弦定理AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，故AE＝2sin30°cos15°＝1cos15°＝6－2.(14分)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．运用正、余弦定理解决实际应用问题答题模板(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解．审题视角规范解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里，[2分]在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6海里．[4分]又∵BCsinA＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sinABC＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，[8分]在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[10分]又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.∴t＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[14分]答题模板解斜三角形应用题的一般步骤：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．批阅笔记(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解．1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．方法与技巧在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面的二面角的度数．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．失误与防范任意角的三角函数任意角三角函数定义同角三角函数的关系诱导公式和差化积，积化和差二倍角公式三角函数线平方关系、商式关系奇变偶不变符号看象限任意角正角、负角、零角象限角、轴线角终边相同的角任意角与弧度制；单位圆弧度制定义1弧度的角正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanx图象：描点法(五点法)、图象变换法性质：定义域、值域、对称轴、对称中心单调性、奇偶性、周期性、对称性①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；④最小正周期；⑤对称轴,对称中心为2||T(21)22kx(,),Zkbk三角函数三角函数模型的简单应用建筑学、航海、天文物理学等sin()yAxb