2013届高考数学一轮复习讲义：第二章 2.7 对数与对数函数

一轮复习讲义对数与对数函数1．对数的概念(1)对数的定义如果ax(a0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．logaN＝baN忆一忆知识要点(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)常用对数底数为自然对数底数为10elogaNlgNlnN要点梳理2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④logamMn＝.(2)对数的性质①＝；②logaaN＝(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝.忆一忆知识要点logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaMNNlogbN＝logaNlogablogadNaalog要点梳理3．对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：(2)值域：(3)过点，即x＝时，y＝(4)当x1时，当0x1时，(5)当x1时，当0x1时，性质(6)在(0，＋∞)上是(7)在(0，＋∞)上是忆一忆知识要点(0，＋∞)R(1,0)10y0y0y0y0增函数减函数要点梳理4.反函数指数函数y＝ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称．y＝logaxy＝x5.第一象限中,对数函数底数与图象的关系图象从左到右,底数逐渐变大.yxoy=1yxoyxoyxoy=1[难点正本疑点清源]1．关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果ab＝N(a0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．例1计算下列各式．(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(lg3)2－lg9＋1·(lg27＋lg8－lg1000)lg0.3·lg1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．对数式的化简与求值(1)lg2·lg50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝(lg3)2－2lg3＋1·32lg3＋3lg2－32(lg3－1)·(lg3＋2lg2－1)＝(1－lg3)·32(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)·(lg3＋2lg2－1)＝－32.(3)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．探究提高(1)化简lg37＋lg70－lg3－lg23－lg9＋1；(2)已知f(3x)＝4xlog23＋233，求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值．变式训练1解(1)原式＝lg37×703－lg23－2lg3＋1＝lg10－(lg3－1)2＝1－|lg3－1|＝lg3.(2)令3x＝t，∴x＝log3t，∴f(t)＝4log23·log3t＋233＝4log2t＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233＝4·log2(2·22·23·…·28)＋8×233＝4·log2236＋1864＝4×36＋1864＝2008.例2作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．对数函数的图象与性质从基本函数y＝log2x入手到y＝log2|x|再到y＝log2|x＋1|.解作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．探究提高已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是__________．变式训练2解析作出f(x)的大致图象．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设abc，则－lga＝lgb＝－12c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10c12，∴abc∈(10,12)．(10,12)例3已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a0且a≠1)．(1)若f(2)＝2，求a的值；(2)当a1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．对数函数的综合应用利用f(2)＝2，得出关于a的方程，即可求出a的值；第(2)问中，应先确定函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域，再根据解析式的特征选用适当的方法求其最大值．解(1)f(2)＝loga4，依题意f(2)＝2，则loga4＝2，∴a＝2.(2)由题意知8－2x0，解得x3，由8－2－x0知，x－3，∴函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域为(－3,3)．又y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]，∵6582x＋2－x≥2，当且仅当x＝0时取等号，∴065－8(2x＋2－x)≤49，∴当a1时，函数y＝f(x)＋f(－x)在x＝0处取得最大值loga49.本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等)．探究提高已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．变式训练3解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋11－x≥m.设F(x)＝loga1＋x1－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．(14分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.思想与方法(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)取值．(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝y2－y1x2－x10即可．审题视角数形结合思想在对数函数中的应用规范解答证明(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分](2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1x2，则直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2.[8分]1122121log(1)log(1)log,1xxxaaaxayyaaa当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[12分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]∴12111xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分]∴12111xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.[14分][10分]批阅笔记说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点是：①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很多考生不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论．1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝nm·l