2015年高考排列、组合、复数与算法专题分析

12015年高考排列、组合、复数与算法专题分析一、排列、组合部分1．考情分析计数原理是求解古典概型概率以及离散型随机变量的分布列、期望、方差等问题的基础；在分步和分类计数原理中所蕴含的思想方法是解答数学问题的重要策略．该部分内容在高考中主要以两种方式进行考查：一是单独命题；二是与概率、统计等方面的试题融合在一起考查，特别是与古典概型的概率，随机变量的分布列等综合在一起．高考中的计数原理试题多以现实生活中的实际问题为背景，通过数字问题、人或物的排列问题、集合的子集个数问题、选代表或选样品等问题考查考生对计数原理的运用能力，难度不大，以中档题为主．2．考试要求2014年高考数学（湖北卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：内容知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）计数原理（仅限理科）加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理√用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题√排列与组合排列、组合的概念√排列数公式、组合数公式√用排列与组合解决一些简单的实际问题√二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题√考纲具体要求如下：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②能熟练地用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合：①理解排列、组合的概念；②掌握排列数公式、组合数公式；③能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；④能利用排列与组合解决一些简单的实际问题．（3）二项式定理：会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．要点串讲（1）用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是要确定需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才算完成任务，当然步与步之间要2相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数相乘，得到总数．对于较复杂的问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来求解．（2）判断某一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关．若交换任意两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．（3）对于排列组合的综合性问题，一般的思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”始终是处理这类问题的基本方法和原理．（4）排列组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题缩倍法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反，等价转化法．（5）要熟练掌握二项式定理，学会灵活应用．对于三项式问题，可转化为二项式定理去处理．在求二项展开式系数之和问题时经常用赋值法；对于二项式系数的最值问题，有时需要对n的奇偶性进行讨论.从2012年开始实行新课改已经三年，可以发现湖北卷命题具备以下重要特点：平而不淡，内涵丰富，充分体现“以教材为本”，稳中求变出新，淡化特殊技巧，体现课改方向．根据近三年湖北卷的特点，预估湖北明年的计数原理知识考查仍在“排列、组合的综合应用和二项式定理”中命制，比较大可能以实际问题为背景，以选择题和填空题的形式考查，难度中等．4．考题重现真题1（2014·湖北理科卷·第2题）若二项式7)2(xax的展开式中31x的系数是84，则实数a（）A.2B.54C.1D.42【考点分析】二项式定理的应用．【解析】二项式7(2)axx的展开式即7(2)axx的展开式中31x项的系数为84，所以7772177(2)()2rrrrrrrraTCxCaxx，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：22572Ca=84，解得a=1，故选C.【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．真题2（2012·湖北理科卷·第5题）设aZ，且013a，若201251a能被13整除，3则a（）A．0B．1C．11D．12【考点分析】二项展开式的系数.【解析】由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012CCC,又因为13能被52整除，所以只需13能整除（1+a），而0≤a13，所以a=12，故选D.【点评】本题考察二项展开式的系数，基本知识的考查．真题3（2012·湖北理科卷·第13题）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有个．【考点分析】排列、组合的应用.【解析】（Ⅰ）：4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109种．答案：90．（Ⅱ）解法一：由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为n109.解法二：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导22102nnSS,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此21210nnSS,则答案：910n.【点评】本题考察排列、组合的综合应用，中档难度知识的考查．5．考题预测1.设12,aa…，na是1,2，…，n的一个排列，把排在ia的左边且比ia小的个数称为ia的顺序数(i＝1,2，…，n)．如：在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为()A．48B．96C．144D．192解析：依题意，8排在第三位，7排在第五位，5排在第六或第七位，当5排在第六位时，6排在后两位，排法种数为1424CA＝48种，当5排在第七位时，6排在5前面，排法种4数为1444CA＝96，故不同排列的种数为48＋96＝144，故选C.2．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为()A．2386CAB．1477CAC．1467CAD．无法确定解析：自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有16C种选法，再从其他7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有1467CA种．答案：C3．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是________．解析：由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C13×A25×C12×A22＝240.4．方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．解析：把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z＝6，[phone]＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．5．在(3x－23x)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则01xαdx＝()A.16B.67C.89D.125解析：因为展开式一共12项，其通项公式为Tr＋1＝Cr11·(3x)11－r·(－23x)r＝Cr11·311－r·(－2)r·x33－r6，r＝0,1，…，11.5其中只有第4项和第10项是有理项，故概率α＝212＝16，∴01x16dx＝67x76|10＝67.6．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的()A．第11项B．第13项C．第18项D．第20项解析：(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为：C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋12；令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝36＋12－1＝364.二、复数部分1．考情分析高考复数的考查要求较低，主要集中在复数的概念及复数的四则运算这两部分内容，且都是容易题，在题型设计上，通常以选择题或填空题的形式出现，不论是高考题还是模拟题有相当数量的题目来源于教材，故我们复习时应重视课本，抓住重点即复数的概念及复数的四则运算，对于复数的几何意义了解即可．2．考试要求2014年高考数学（湖北卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：内容知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）数系的扩充与复数的引入复数的概念与运算复数的基本概念，复数相等的条件√复数的代数表示法及几何意义√复数代数形式的四则运算√复数代数形式加、减法的几何意义√考纲具体要求如下：（1）理解复数的基本概念，理解复数相等的条件．6（2）了解复数的代数表示法及其几何意义．（3）会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式加、减法的几何意义．3．要点串讲（1）复数的有关概念是高考的重点，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时z是虚数，当b＝0时z是实数，当a＝0，b≠0时z是纯虚数，特别是纯虚数，是高考的一个热点内容，应牢固掌握．（2）复数的运算是另一个重点，此类问题一般不难，但运算要仔细，特别要注意复数的除法运算，其中“分母实数化”是经常使用的方法．（3）复数的几何意义方面应该主要掌握复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应关系及|z|、|z1－z2|的几何意义．（4）应当熟记的一些公式和结论：(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，|z|＝a2＋b2，|z|2＝|z|2＝z·z；(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)；(4)若ω＝－12＋32i，则ω3＝1，|ω|＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝ω.4．考题重现真题1（2014·湖北理科卷·第1题·湖北文科卷·第2题）i为虚数单位，则2)11(ii（）A．—1B．1C．iD．i【考点分析】复数代数形式的四则运算．【解析】2221(1)211(1)2iiiiii,故选A.【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，基本知识的考查．真题2（2013·湖北理科卷·第1题）在复平面内，复数21ii