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1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。初中几何证明题辅助线训练营分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。2.补成等腰三角形例2如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。图34.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。5.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。6.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。图67.补成菱形例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面积分析：延长EA，CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。图78.补成正方形例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。求△ABC的面积。图8分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。9.补成梯形例9．如图9，已知：G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝1/4(2AA1＋BB1＋CC1)。图9分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。1、在△ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分∠ABC。课后作业：2、如图，已知：在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求证：∠ADB=∠CDE4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：S－t的值。5.△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE探究下列问题（1）当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是矩形.（2）当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形.（3）当△ABC满足______条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须:AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形6.已知:如图,三角形ABC中,∠BAC=90度,AD⊥BC于点D,BE平分角ABC交AD于点M,EF⊥BC于F.求证:四边形AEFM是菱形.解答：∵CE是角平分线，EA⊥CA，EF⊥CF，CE=CE，∴△CAE≌△CFE，∴EA=EF，∠AEC=∠FEC，又AD⊥CB，EF⊥CB，∴AD∥EF，∴∠AGE=∠GEF，∴∠AEG=∠AGE，∴AG=AE，∴AG=EF，∴四边形AGFE是平行四边形﹙有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形﹚又AG=AE，∴平行四边形AGFE是菱形﹙一组邻边相等的平行四边形是菱形﹚。即：四边形AEFG是菱形。7.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为∠OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG。（1）若FG⊥OF，OF=1,求线段OG的长度；（2）若∠AFB＝90°，求证：AF＝BF+OG（1）、∵BF平分∠OBE∴∠OBF=∠GBF∵BO=BG，BF=BF∴△OBF≌△GBF∴OF=FG∵FG⊥OF∴△OFG是等腰直角三角形∴OG=√(OF²+FG²)=√2（2）、作OH垂直于OF交AF于H∵ABCD是正方形，BD、AC是对角线OA=OB，∠AOB=90°∵∠HOF=90°(做的OH⊥OF)∴∠AOH=∠BOF(同为∠HOB的余角）∵∠AFB=∠AOB=90°设AF与OB交于M，∠OMA=∠FMB(对顶角）∴∠OAH(∠OAM)=∠OBF(∠MBF)在△AHO和△BOF中OA=OB，∠AOH=∠BOF，∠OAH=∠OBF∴△AHO≌△BOF∴AH=BF，OH=OF∵OF=FG(第一步已经证明）∴OH=FG∵∠OFG=∠HOF=90°(这一步有点问题，∠OFG在第一步是假设的，）∴OG=FHAF=AH+HF=BF+OG8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E，F分别是边AB，BC的中点,点P在ＢＤ上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？拓展：若Ｐ点在AC上运动，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？解：依题意得，当P为EF与BD的交点时，PE+PF最小，为EF的长.∵点E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=0.5×AC=3.即PE+PF的最小值为3.拓展：用两张等宽的长方形纸条交叉重叠地放在一起,重合的部分为四边形abcd，若长为8，宽为2，求四边形abcd的最大9.将俩张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是?10.如图，已知菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数证明：连接AC∵菱形ABCD中，∠B=60°∴AB=BC=CD=DA，∴AB=AC，∠FCA=∠B=60°，又∠EAF=60°，∴∠CAF=∠BAE=18°∴△BAE全等于△CFA，∴AE=AF∴∠FEA=60°，∴∠AEB=180°-18°-60°=102°∴∠CEF=180°-∠FEA-∠AEB=180°-60°-102°=18°11.如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连结EF。（1）、求证：①、AE=AG；②四边形AEFG为菱形。（2）、若AD=8，BD=6，求AE的长。证明:(1)AE=AG的关键是证明∠AGE=∠AEG；∵∠AEG=∠BED，又∠ADB=90°；∴∠AEG+∠GBD=90°；又因为∠AGE+∠ABG=90°且BG为角ABD的角平分线，因此可以推断∠AEG=∠AGE，所以得出△AEG为等腰三角形，所以AE=AG。(2)∵线段GF平行于线段AD，所以∠AEG＝∠FGE；∴∠AGB=∠FGB，有前面的条件可知∠ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于三角形GFB，所以AG=AF，从而推出AE=GF，根据菱形的定义：四边形AEFG为平行四边形，又邻边相等，所以四边形为菱形。(3)∵AD=8,BD=6,∴AB=BF=8,∵DE//GF,∴BD/BF=DE/FG.设AE=x，则ED=8-x,GF=X,即：6/10=(8-x)/x.解得x=8/3.ABCDEFG（1）解：连接BD,∵点E为CD边的中点,BE⊥CD∴BD=BC∴∠DBE=∠CBE∵∠FBE=2∠EBC∴∠DBE=∠CBE=∠DBF∵BF=BG∴△FBD≌△GBC13.如图，在矩形ABCD中。已知AD=12,AB=5，P是AD上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E和F分别是垂足，求PE+PF的值.ABDCPFE提示：用三角形的等面积法.SΔABO=SΔAPO+SΔDPOO2114.已知：如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°,AD//BC,∠CBE=∠ABE.求证：ED=2AB取ED的中点F并与A连接因为，∠C=90°，AD//BC，所以∠EAB=90°，AF为直角△EAB斜边ED上的中线，AF=DF=1/2ED三角形AED为等腰三角形，∠D=∠FAD∠D+∠FAD=2∠D=∠AFB又因为∠CBE=∠D（内错角），所以∠CBE=1/2∠AFB而已知∠CBE=1/2∠ABE，所以∠AFB=∠ABE，三角形子BAF为等腰三角形，AB=AF=1/21/2ED所以，ED=2ABADBCEF15.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA，F是AE的中点.求证：BF⊥FD过F点做AD的平行线交AB于G点,则有FG垂直于AB,三角形AFG全等于三角形BFG（全等条件：F中点所以G也是重点AG=FG都有一直角和公共边FG边角边）所以有AF=BF角FAB=角FBA又得角FAD=角FBC（都加一直角）,又AD=BC所以三角形FAD全等于三角形FBC(边角边)所以有角BFC=角AFD角AFD+角DFC=90换量角BFC+角DFC=90,所以BF⊥FD圆的经典例题模型解：连接OA，设正方形ABCD的边长为X∵正方形ABCD的边长为X∴AB＝BC＝CD＝X∵∠POM＝45∴OC＝CD＝X∴OB＝BC+CD＝2X∵MN＝10∴OA＝MN/2＝5∵AB²+OB²＝OA²∴X²+4X²＝25X²＝5X＝√5∴AB＝√51、如图，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的4个顶点分别在半径OM,OP,及圆O上，且∠POM=45°，问：AB？M2、如图，已知A,B,C，为圆O上三点，D,E分别为弧AB,弧AC的中点，连DE,分别交AB,AC于点F,G求证：AF=AG证明：连接OD、OE，分别与AB、AC交于点M、N，由垂径定理，OD⊥AB，OE⊥AC因为OD=OE，所以∠ODE=∠OED在RtΔMDF与RtΔNEG中∠MFD=90°-∠ODE∠NGE=90°-∠OED所以∠MFD=∠NGE，即∠AFG=∠AGF所以AF=AG，MN3、如图，圆O的直径AB的长AC为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交圆O与点D，则CD的长为？解答：过A点作ＡＥ垂直ＢＣ与点Ｅ，∠ACB=90,∠ACD＝∠BCD＝45AC=6，∠AEC=90所以AE=CE=3√２又因为弧AD=弧DB，且角ＡＤＢ＝９０，所以