实数完备性定理及应用研究

前言第1页（共25页）实数完备性定理及应用研究1前言实数完备性是数学分析的基础，而数学分析是数学专业的必修课程之一.数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用实数完备性这一工具解决实际应用问题的能力。在学数学分析时，同一个证明题会有不同的证明方法，这是由于所用实数系定理不同造成的，怎样才能让大家对这些定理有一个统一的认识呢？这个问题一旦解决，就会为实数完备性相关定理的应用找到一个新的研究途径.实数完备性定理及应用研究第2页（共25页）2选题背景2.1题目来源实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的六个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据,它们从不同的角度刻画了实数系的完备性,在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.本论文题来源于理论研究.2.2研究目的及意义通过《数学分析》理论的学习，不难发现实数理论是整个数学分析的基础，而实数理论中又以实数的完备性的六个命题为最重要.为了让大家对这六个命题有一个全面的认识，本文将以有限覆盖定理为起始证明其他定理的正确性，并对实数完备性定理的应用作出分析和举例.2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向众所周知，在整个《数学分析》的知识中，实数系完备性基本定理是理论性最强的一部分.实数理论的建立,给数学分析注入了严密性.实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一,其中不乏精彩、美妙之处.目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用.这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们相互之间是等价的.实数完备性基本定理的证明不仅是《数学分析》的重点，也是该课教学的难点，不同的教材都有各自不同的处理方法，可谓是百家争鸣.其中比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理.1987年，Botsko提出了一种统一处理这部分内容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志.因此，许多学者在这些方面都做了一些工作.另外，定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等.除此之外，实数完备性作为《数学分析》的基础知识，极大地考察了学生的基本功和论证能力，颇受考研出题者的喜爱.全面认识实数完备性第3页（共25页）3全面认识实数完备性3.1确界定义]2[定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx，都有xM(xL)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切Sx，有x，即是S的上界；（ii）对任何存在Sxo，使得ox即又是S的最小上界则称数为数集S的上确界，记作Ssup定义3设S是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切Sx，有x，即是S的下界（ii）对任何，存在Sxo，使得,ox即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作Sinf上确界与下确界统称为确界．3.2极限以及数列定义]2[定义4若函数f的定义域为全体正整数集合，则称Rf:或nnf,为数列定义5设na为数列，a为定数.若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当Nn时有aan，则称数列na收敛于a，定数a称为数列na的极限，并记作aanlim或naan.定义6若数列na的各项满足关系式11nnnnaaaa，则称na为实数完备性定理及应用研究第4页（共25页）递增（递减）数列.递增数列和递减数列通称为单调数列.3.3区间套定义]2[定义7设闭区间列nnba,具有如下性质：（i）,...2,1,,,11nbabannnn；（ii）0limnnnab，则称nnba,为闭区间套，或简称区间套.3.4聚点定义]2[定义8设S为数轴上的非空点集,为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属S).若对于任意正数,在;U中含有S的无限个点,则称为的S一个聚点.定义8设S为实数集R上的非空点集,R.若对于任意正数，SU;，则称为的S一个聚点.定义8″若存在各项互异的收敛数列Sxn，则其极限nnxlim称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8定义8由定义直接得到定义8定义8″对任给的0，由SU;，那么取11，SUx1;1；取12,21minx，SUx22;；..........取1,1minnnxn，SUxnn;；..........这样就得到一列Sxn.由n的取法，nx两两互异，并且nxnn10由此nnxlim实数完备性定理的证明第5页（共25页）定义8″定义8由极限的定义可知这是显然的.3.5开覆盖定义]2[定义9设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如),(的开区间）.若S中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4实数完备性定理的证明]10[4.1确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．]2[证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数．由于S有上界，故可找到非负整数n，使得1对于任何Sx有1nx;2存在Sa0,使na0.对半开区间1,nn作10等分,分点为9.,,2.,1.nnn,则存在,2,1,09,中的一个数1n,使得)1对于任何Sx有101.1nnx；)2存在Sa1，使11.nna．再对半开区间)101.,.[11nnnn作10等分，则存在9,2,1,0中的一个数2n使得)1对于任何Sx有x221101.nnn)2存在Sa2，使..212nnna继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在实数完备性定理及应用研究第6页（共25页）9,2,1,0中的—个数kn，使得)1对于任何Sx有kknnnnx101.21)2存在Sak，使..21kknnnna将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21knnnn．以下证明Ssup．为此只需证明：（i）对一切Sx有x；（ii）对任何，存在S'使'a．倘若结论（i）不成立，即存在Sx使x，则可找到x的k位不足近似kx，使kkxknnnn21.k101，从而得kknnnnx101.21，但这与不等式)1(相矛盾．于是（i）得证．现设，则存在k使的k位不足近似kk，即kknnnn21.，根据数的构造，存在Sa'使ka'，从而有ka'k，即得到'a，．这说明（ii）成立．4.2单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.]2[证不妨设na为有上界的递增数列.由确界原理，数列na有上确界，记为naasup.下面证明a就是na的极限..事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列na中的某一项Na使得Naa.又由na的递增性，当Nn时有nNaaa.另一方面，由于a是数列na的一个上界，故对一切na都有aaan.实数完备性定理的证明第7页（共25页）所以当Nn时aaan，这就证得aannlim.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.4.3柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则数列na收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N使得当Nmn,时有mnaa.]2[证(必要性)设Aannlim，由数列极限的定义，对任给的0，存在正整数N，使得当Nmn,时有2Aan,2Aam因而有AaAaaamnmn.(充分性)由题设，对任给的0，存在正整数N，当Nn时，Nnaa.即当Nn时，有NNnaaa,.令21，存在正整数1N，当1Nn时，21,2111NNnaaa，取21,21,1111NNaa.令221,存在正整数12NN，当2Nn时，2221,2122NNnaaa,取22112221,21,,22NNaa.显然有2211,,，2122，并且当2Nn时，22,na...........令k21，存在1kkNN，当kNn时，kNkNnkkaaa21,21,取221121,21,,kkNNkkkkaa...........这样就得到一列闭区间kkba,，满足（i）,...2,1,,,11kbabakkkk；NaNaNax实数完备性定理及应用研究第8页（共25页）（ii）kabkkk,0211；（iii）对k，当kNn时，kkna,.由区间套定理，存在惟一的kk,.由区间套定理的推论，对任给的0，存在0N,当Nn时;,Ubaannn，所以na.这就证明了nnalim.故数列na收敛.4.4区间套定理及其证明区间套定理若nnba,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得,...2,1,,nbann,即,...2,1,nbann.]2[证由定义7的条件（i）可知,数列na为递增有界数列,依单调有界定理，na有极限，且有,...2,1,nan.同理，递减有界数列nb也有极限，并按区间套的条件（ii）有nnnnablimlim，且,...2,1,nbn.综上，可得,...2,1,nbann.下面证明满足,...2,1,nbann的是唯一的.设数'也满足,...2,1,'nbann，则由,...2,1,nbann有,...2