基本不等式优秀课件

3.4基本不等式:2abab2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。一、问题引入情景设置ADCBHFGE22+abab新课探究22ab2ab222SabSab四个三角形大正方形ADCBHFGE=ab特别地，当时又有怎样的结论？ab22+=2abab新课探究一般地，对于任意实数，我们有,ab222abab当且仅当时等号成立ab思考：如何证明？222222()02ababababab证明：当且仅当时，此时ab2()0ab222abab2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?0,0ba,ab222ababba,基本不等式ADCBHFGEADCBHFGEabababab0,0,2abababab若则当且仅当时取等号当且仅当a=b时，取“=”号0,02ababab（）能否用不等式的性质进行证明？小组合作：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDabP98探究oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____ab2ba几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长动态演示你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?证明:要证abba2只要证ba()①②要证②，只要证ba0()③要证③，只要证（－)20ab2ab2ab④ba显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.abba20,0ba2abab22abab0,02abababab当时，当且仅当时等号成立变形式：平方基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.222(ababaR、b）重要不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。2.基本不等式（均值定理）,2,abababab我们把叫做正数的把叫做正数的算术平均数，几何平均数。1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.002()abababab如果，，那么当且仅当时，取号2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。此定理又可叙述为：1.基本不等式：.2abbaa=b基本不等式的变形：知识要点：（当且仅当________时取“＝”号）．.2,0,0abbaba则如果（当且仅当a=b时取“＝”号）．.2baab或.)2(2baab或如果a≥0，b≥0，那么≥重要变形22220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。（由小到大）应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大2baab（a＞0，b＞0）基本不等式当且仅当ab时等号成立当且仅当ab时等号成立(a0,b0)2abab2(0,0)ababab222abab0,02ababab2（）结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值例题：的最大值。求已知变式：)21(,210xxyx的最小值。求变式：已知14,1xxyx的最大值。求设的最小值。，求已知)1(,10)2(40)1(xxyxxxyx练习：）；（其中的最小值求1143xxxy例3．求函数的最大值，及此时x的值。223()(0)xxfxxx解：，因为x0，3()1(2)fxxx所以3322226xxxx≥得3(226xx)≤-因此f(x)≤126当且仅当，即时，式中等号成立。32xx232x由于x0，所以，式中等号成立，62x因此，此时。max()126fx62x例４、已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值错解:221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即的最小值为yx1124过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值解:223当且仅当yxxy2即:xy2时取“=”号122yxxy而222221yx即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23正确解答是:2、已知则xy的最大值是。1、当x0时，的最小值为，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx613、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、yx,5yxyx333664318D4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyC下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．xxxf1)(运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．２．已知函数，求函数的最小值．)2(23)(xxxxf用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．