基本不等式应用(完整版)

1利用均值不等式求最值的方法.一．基本不等式1.（1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）称为a，b的等差中项，称为a，b的等由数列知识可知，比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）3.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”；其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。2(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值；见积想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值。”二、基本不等式求最值的应用例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：（1）y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x=－（－x－1x）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：题型一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。题型二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。3解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。题型三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。题型四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。题型五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数4()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3）12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33和都是正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba335的最小值是6．变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值题型六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝26x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342题型八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。题型九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.7解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b22，本题很简单3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25变式:求函数152152()22yxxx的最大值。解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx又0y，所以022y当且仅当21x=52x，即32x时取等号。故max22y。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。例1.（2004年高考湖北文史卷）已知52x，则245()24xxfxx有（）A．最大值54B.最小值54．C．最大值1D．最小值1解：5,202xx。2245(2)1()2(2)2(2)xxxfxxx=21122(2)xx当且仅当2122(2)xx，即3x时，上式等号成立。因为3x在定义域内，所以最小值为1。例2．（2006年高考重庆卷）若,,0abc，且()423aabcbc，则2abc的最小值为（）A．31B．31C．232D．2328解：由已知条件有()()423acab。22,,0,()()()2abcabcacab（当且仅当acab即bc时，取“=”号）。所以224232(31)232abc。故选D。例3、（2004年高考重庆文史卷）已知532(0,0)xyxy，则xy的最小值是____________。解析：解法一：（不等式法）2=53152,15xyxyxy。当且仅当53xy等号成立。解法二：（三角代换法）令22532cos,2sinxy。2253,2cos2sinxy21515sin2xy（同学们自己验证等号成立的条件）。例4．（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（）A．2abxB．2abxC．2abxD．2abx解析：设原产量为A，则有22(1)(1)(1),(1)(1)(1)AabAxxab利用变形二有222(1)(1)(1)(),22ababxabx。故选B。例5．（2005年高考重庆卷）若yx,是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是（）A.3B.27C.4D.299解析：由变形三可以把x和x21放在一起，这样就可以解下去。22)21()21(xyyx2)2121(21xyyx-----------------（*）而由变形一有：221,221yyxx（当且仅当2