湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试卷(文科)

湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|x2﹣6x+8＜0}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）复数等于（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i3．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对4．（5分）条件甲“a＞1”是条件乙“a＞”的（）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．（5分）已知向量、的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．27．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，则f（x）是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的非奇非偶函数9．（5分）已知f（x）=lnx（x＞0），f（x）的导数是f′（x），若a=f（7），，，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足以下两个条件：（1）对∀x∈R，都有f（x）+f（﹣x）=0成立；（2）当x＜0时，（x2+2x）f′（x）≥0，则下列不等关系中正确的是（）A．f（﹣1）≤f（0）B．f（﹣2）≤f（﹣3）C．f（2）≥f（0）D．f（1）≥f（2）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．12．（5分）点O在△ABC内部，且满足，则△ABC面积与凹四边形ABCO的面积之比为．13．（5分）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知，则tan2x=．15．（5分）对于函数f（x）=﹣2cosx（x∈[0，π]）与函数有下列命题：①函数f（x）的图象关于对称；②函数g（x）有且只有一个零点；③函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；④若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为．其中正确的命题是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知集合E={x||x﹣1|≥m}，F={x|＞1}．（1）若m=3，求E∩F；（2）若E∪F=R，求实数m的取值范围．17．（12分）已知△ABC所对的边分别是a、b，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=60°，求△ABC的面积．18．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．19．（13分）已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．（13分）某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：p（x）=x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）=（单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）21．（13分）已知函数f（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立，求实数k的取值范围．湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|x2﹣6x+8＜0}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过解二次不等式求出集合N，然后直接求出M∩N．解答：解：因为N={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，所以M∩N={x|x＜3}∩{x|2＜x＜4}={x|2＜x＜3}，故选D．点评：本题考查二次不等式的求解，集合的基本运算，考查计算能力．2．（5分）复数等于（）A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．解答：解：复数===2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B小于A，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．解答：解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选C点评：此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）条件甲“a＞1”是条件乙“a＞”的（）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件考点：充要条件．专题：计算题；压轴题．分析：，由充要条件的定义直接判断甲⇒乙和乙⇒甲是否正确即可．解答：解：∵∴a＞1⇒，即a＞；反之a＞即⇒a＞1；故选B点评：本题考查充要条件的判断，属基本题型的考查，较简单．5．（5分）已知向量、的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与向量+2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：先求出及||==的值，再根据cosθ=求出θ的值．解答：解：由题意可得=2×1cos60°=1，设向量与向量+2的夹角等于θ，则||===2．故cosθ===．再由0°≤θ≤180°，可得θ=30°，故选D．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量数量积公式，求向量的模的方法，属于中档题．6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2考点：函数的值．专题：计算题．分析：将3代入相应的分段函数进行求值，则f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）从而f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0），将0代入f（x）=log2（4﹣x）进行求解．解答：解：由已知定义在R上的函数f（x）满足，得f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）∴f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log2（4﹣0）=﹣2，故选B．点评：本题主要考查了分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，我们易判断出a，b与0，±1的关系，根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象可得b＜﹣1＜0＜a＜1则函数g（x）=ax+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据已知判断出a，b与0，±1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键．8．（5分）已知函数，则f（x）是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的非奇非偶函数考点：正弦函数的奇偶性；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用二倍角公式，化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，即可求解函数的周期，判断函数的奇偶性．解答：解：函数=cos2xcos﹣sin2xsin+=﹣+所以函数的周期是T==π．因为f（﹣x）═﹣+=+≠±f（x），所以函数是非奇非偶函数．故选D．点评：本题考查二倍角公式的应用，函数的周期与奇偶性的判断，考查计算能力．9．（5分）已知f（x）=lnx（x＞0），f（x）的导数是f′（x），若a=f（7），，，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用导数的运算法则求出f′（x）=，得到a=f（7）=ln7，=2，=3，利用对数函数的单调性判断出ln7＜lne2=2，得到选项．解答：解：f′（x）=，a=f（7）=ln7，=2，=3，因为ln7＜lne2=2，所以a＜b＜c故选B．点评：本题考查导函数的运算法则及利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题．10．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足以下两个条件：（1）对∀x∈R，都有f（x）+f（﹣x）=0成立；（2）当x＜0时，（x2+2x）f′（x）≥0，则下列不等关系中正确的是（）A．f（﹣1）≤f（0）B．f（﹣2）≤f（﹣3）C．f（2）≥f（0）D．f（1）≥f（2）考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：利用奇函数的定义判断出f（x）是奇函数，通过解二次不等式判断出x2+2x的符号，从而得到导函数f′（x）的符号，判断出函数f（x）的单调性，利用f（x）的单调性判断出A，B错；利用f（x）的单调性与奇函数判断出C错D对．解答：解：∵对∀x∈R，都有f（x）+f（﹣x）=0成立∴f（x）为奇函数∵当x＜﹣2时，x2+2x＞0；当﹣2＜x＜0时，x2+2x＜0又∵当x＜0时，（x2+2x）f'（x）≥0∴当x＜﹣2时，f'（x）≥0，函数f（x）递增或为常函数；当﹣2＜x＜0时，f'（x）≤0，函数f（x）递减或为常函数∴f（﹣1）≥f（0），故A错f（﹣2）≥f（﹣3），故B错f（﹣2）≥f（0）即﹣f（2）≥f（0）即f（2）≤f（0），故C错f（﹣1）≤f（﹣2）即﹣f（1）≤﹣f（2）即f（1）≥f（2）故D对故选D．点评：判断函数的奇偶性应该利用奇函数、偶函数的定义；利用导函数的符号判断函数的单调性：当导函数为正，函数递增；当导函数为负，函数递减．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．解答：解：由题意，求导函数f