时程分析法 newmark-b

时程分析法1.运动方程线性问题：（1）()()()()IDsftftftPt[],C[]K为常数矩阵sf()xtDf()xt/sfxktg/Dfxctg非线性问题：[],C[]K为时变矩阵sf()xtDf()xt[]()[()]()[()]()[]1gMxtCtxtKtxtMx2.增量平衡方程tt时刻：（2）xtxttxtxtxttxt{}{()}{()}xtxttxt()()()PtPttPt令将(1),(2)两式相减：（1）()()()()IDsftftftPt()()()()IDsfttfttfttPtt()()()()IDsftftftPt()()()[]()()[]()IIIftfttftMxttxtMxt()()()[()]()DDDftfttftCtxtDf()xtDdfxdxDf()xt()xttx()Dftt()Dft()ct斜率Ddfctdx()()()[()]()sssftfttftKtxtsf()xtsdfxdxsf()xt()xttx()sftt()sft()kt斜率stdfktdx[]()[()]()[()]()()MxtCtxtKtxtPt----增量方程(3)()()()[]()()[]()IIIftfttftMxttxtMxt()()()[()]()DDDftfttftCtxtDtdfctdx()()()()IDsftftftPt结构在t时刻的刚度矩阵由t时刻结构各构件的切线刚度确定方程左边的力增量表达式是近似的！Df()xtDdfxdxDf()xt()xttx()Dftt()Dft()ct斜率非线性地震反应分析的逐步积分法线性加速度法：t时间间隔内加速度线性变化假定平均加速度法：t时间间隔内加速度为常数假定Newmark－β法Wilson－θ法3.线性加速度法假定t时间间隔内加速度线性变化iiixxtxtttt（4）对(4)式积分求t时刻的速度：iiitttiiitttxxdxtdtdt22iittitiiitxxxtttttxttitittix22iiiiixxtxtxtttttt22iiiiixxtxtxtttttt（5）在至间间隔内t时刻的加速度为itittiiixxtxtttt（4）t时刻的速度：22iiiiixxtxtxtttttt（5）对(5)式积分求t时刻的位移：2326iiiiiiixtxxtxtxtttttttt（6）时刻的位移向量为：2326iiiiixtxxttxtxttttt（7）ittt时刻的加速度：2226iiiiiixtxxxttxtxtttt位移增量为：iiixxtxtttt（4）t时刻的速度：22iiiiixxtxtxtttttt（5）对(5)式积分求t时刻的位移：2326iiiiiiixtxxtxtxtttttttt（6）时刻的速度向量为：22iiiixxttxtxtttt（8）ittt时刻的加速度：2iiiiixxxttxtxttt速度增量为：（8）2iiiiixxxttxtxttt速度增量为：（7）2226iiiiiixtxxxttxtxtttt位移增量为：在分析中，将作为基本变量，由式(7)得x2663iiiixxxtxttt将(9)式代入(8)得（9）332iiiitxxxtxtt（10）将(9)和(10)代入增量方程(3)解得位移增量[]()[()]()[()]()()MxtCtxtKtxtPt----增量方程(3)ix1322iiiiiiiiiiiDisixttxtxtxttxtxxxtxttxttMPttfttftt（11）从而可以得出时刻的位移，速度和加速度向量*22663[]3[()]3[()]()2636[][()][()]()[]3[()]32iiiiiiiiiiiiiiiiiiiPKtMxxtxtCtxxtxtKtxPtttttMCtKtxPtMxtxtCtxtxtttt*itt2663iiiixxxtxttt332iiiitxxxtxtt**KtxPt等效刚度→←等效荷载1322iiiiiiiiiiiDisixttxtxtxttxtxxxtxttxttMPttfttftt（11）从而可以得出时刻的位移，速度和加速度向量itt2663iiiiiiixttxtxxtxxtxttt两个近似：加速度为线性变化；阻尼和刚度在时间步长内保持常量总平衡方程（1）()()()()IDsftftftPt在分析的每一步中都要利用总平衡方程，来避免误差的积累不采用计算步骤：1.确定积分步长t逐步积分法的精度依赖于积分步长t影响因素：外荷载的变化速率，非线性的复杂性和结构的振动周期外荷载比较简单时，积分步长的选取主要依赖于结构的振动周期。积分步长必须小于振动周期的一半才能保证线性加速度法的稳定性。为了保证精度一般取t/T≤0.1。2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力（根据初始速度和位移）[]()[()]()[()]()()MxtCtxtKtxtPt计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力（根据初始速度和位移）3.确定加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移和速度响应x1()()()()DsxtMPtftftsf()xtsdfxdxsf()xt()xttx()sftt()sft()kt斜率Df()xtDdfxdxDf()xt()xttx()Dftt()Dft()ct斜率W=15kNx(t)例：求位移时程曲线，恢复力时程曲线，最大位移，最大恢复力，开始时静止。t(s)0.10.82.543.52.51.510.5fs3kN0.05fD0.05()xts/mkN1tanc()mxtgx()()gPtmxtkN解：1.确定步长kg10529.181.9/1015/33gWm/60/1.5296.264rad/skm2/1.003s;0.1sTt*263()()1.529()947.4kN/m0.10.1Ktktkt*()()94.74()4.637()PtPtxtxt()30()3()0.05()xtxtxtxt计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应x*263()[][()][()]KtMCtKttt*6()()[]3[()]32tPtPtMxtxtCtxtxttP(t)(kN)t(s)0.10.82.543.52.51.510.5fsx(m)3kN0.05*()()94.74()4.637()PtPtxtxt()30()3()0.05()xtxtxtxt*263()()1.529()947.4kN/m0.10.1Ktktkt1.t=0(0)0;(0)0;(0)(0)0;(0)(0)0;(0)0sDxxfkxfcxP(0)(0)(0)(0);(0)0IDsfffPx(0)0(0)0(0)0xxx*(0)60;(0)60947.41007.4kK*(0)2.5;(0)2.5PP**(0)(0)/(0)0.00248xPK(0)0.0744x2.t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx弹性阶段60)1.0(k(0.1)0.0744Df(0.1)(0.1)(0.1)(0.1)/1.4889DsxPffm(0.1)(0)(0)0.0744xxx计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应xP(t)(kN)t(s)0.10.82.543.52.51.510.5fsx(m)3kN0.05*()()94.74()4.637()PtPtxtxt()30()3()0.05()xtxtxtxt*263()()1.529()947.4kN/m0.10.1Ktktkt2.t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx弹性阶段60)1.0(k(0.1)(0.1)0.0744Dfcx(0.1)(0)(0)0.0744xxx(0.1)0.0025(0.1)0.0744(0.1)1.4889xxx*(0.1)