平面向量

平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算一、提问：1、什么叫向量？一般用什么表示？2、有向线段的三个要素是什么？3、什么叫相等向量？既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。三要素是：起点、方向和长度。长度相等且方向相同的向量叫相等向量。如图1，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任何一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把（x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x，y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x,y）叫做向量的坐标表示。一、平面向量的坐标表示ayjiO图1xiyxOyxjA（x,y）aa图2如图2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a惟一确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数惟一表示。例1如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd图3解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,∴a=(2,3)同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)二、平面向量的坐标运算已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),根据上面的结论，有AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)已知a=(x,y)和实数λ，那么λa=(λx,λy)即λa=(λx,λy)这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。三、向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使a=λb这个结论如果用坐标表示，可写为（x1,y1）=λ(x2,y2)即x1=λx2y1=λy2消去λ后得也就是说，a//b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0x1y2-x2y1=0叙述：相异坐标的积相等小结一、若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＋b＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)，a－b＝(x1－x2)＋(y1－y2)，λa＝λx1＋λy1.用语言叙述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.ABAB二、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量AB的坐标为：任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.AB=(x2—x1,y2—y1)消去λ后得也就是说，a//b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0x1y2-x2y1=0叙述：相异坐标的积相等a//b(b0)x1y2-x2y1=0叙述：相异坐标的积相等三、当且仅当