平面向量基本定理应用

周至六中数学组教学目标要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量，了解平面基本定理的证明。教学重点平面向量基本定理，应用向量基本定理解决问题。教学难点对平面向量基本定理的理解，应用定理解决平面几何问题知识链接1、实数与向量的积2、两个向量的和（差）的求法平行四边形法则三角形法则3、两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数λ，使得b=λa如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量,,,ABCDEFGHe2e1GHFEDCBA1223eeAB124CDee1244EF-ee1225GHee设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、e2的式子来表示呢？（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.平面向量基本定理如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使1122aaaee说明：①e1、e2是两个不共线的向量；②a是平面内的任一向量；③a1，a2实数，唯一确定.e1e2oABCNMOM与OA共线OM=λ1OA=λ1e1同理ON=λ2OB=λ2e2∴a=λ1e1+λ2e2探究:证明∵OAOMON∴存在实数a1，a2使11OMae,22ONae.于是1122.aaaee设存在实数x,y使12xyaee，只要证1ax且2ayNMOe2e1Aa1e1+a2e2=xe1+ye2,(x－a1)e1+(y－a2)e2=0（存在性）唯一性：我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式。已知：向量e1，e2求作：向量-2.5e1+3e2例1e1e2oAB-2.5e1C作法：1、任取一点O作OA=-2.5e1OB=3e22、以OA,OB为邻边作OACB3、OC为所求例2.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，N为BM中点。设，，试用基底{a，b}表示ABaADb,,,MAMBMCMDbaMDCBAN例3.已知A,B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{}的分解式为OP,OAOB(1).OPtOAtOBPOBA并且，满足该式的点P一定在l上(1)根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得OPOAAPOAtAB()OAtOBOA(1)tOAtOB设点P满足等式，则，1-OBOPOAt（t）APABt即P在l上令t=,点M是AB的中点，则1()2OMOAOB12由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.与的系数之和是1OAOB特征：用途：判断点P在直线AB上，即是判定三点共线的依据。达标练习:1、给出下面三种说法：（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量不可作为基底的向量其中正确的说法是()A、(1)(2)B、(2)(3)C、(1)(3)D、(2)B2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且，用表示.,AMcANd,cd,ABADDBCANM解：设,ABaADb1212cbadab42334233adcbcdCBADEFG3、设G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b试用a,b表示AGABCDEF4、在正六边形ABCDEF中，AC=a,AD=b用a,b表示向量AB、BC、CD、DE、EF、FA。Oab5.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.5.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).题型一向量在物理中的应用【例1】如图所示，两根绳子把重1kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10N/kg)．[思路探索]属于力的合成与分解问题，即借助向量的平行四边形法则处理．解设A、B所受的力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右图，使CE→＝f1，CF→＝f2，CG→＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|CE→|＝|CG→|·cos30°＝10×32＝53.|CF→|＝|CG→|·cos60°＝10×12＝5.所以，A处所受的力为53N，B处所受的力为5N.向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把抽象物理问题转化为数学问题．规律方法【变式1】如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．解(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量OA→＝F1，OB→＝F2，OC→＝－G，则OA→＋OB→＝OC→，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝90°，∴|OA→|＝|OC→|cosθ，|OB→|＝|AC→|＝|OC→|tanθ.即|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|tanθ，θ∈0，π2.由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于π2时，|F1|、|F2|都逐渐增大．(2)当|F1|≤2|G|时，有|G|cosθ≤2|G|，∴cosθ≥12，又θ∈[0,90°)．∴θ∈[0，π3]．课堂小结:1、平面向量基本定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、λ２的存在性和唯一性（２）基底的不唯一性（３）定理的拓展性３、平面向量基本定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题