4.8能控标准形和能观标准形

第四章线性系统的能控性与能观性4.8能控标准形和能观标准形4.8.1系统的能控标准形xAxbuyCx122101000001000000000001nnnAaaaaa00001b第四章线性系统的能控性与能观性式(4.8.2)中,系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故det(Uc)≠0,rank(Uc)=n,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有形如式(4.8.2)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A,B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。第四章线性系统的能控性与能观性定理4.8.1如果系统是能控的，那么必存在一非奇异变换使其变换成能控标准形xAxbuxPxccxAxbu1111nppAPpA121100001npbAbAbAb线性变换矩阵第四章线性系统的能控性与能观性例4.8.1线性定常系统111101xxuC1011UbAb能控性矩阵逆矩阵1C1011U第四章线性系统的能控性与能观性1c1111010110011010APAPc11101011bPb111p01111AppP01101P第四章线性系统的能控性与能观性推论1：设单输入线性定常系统xAxbuycx（4.8.1）能控,式中A,b分别为矩阵,且系统的特征多项式为1,nnnnnnnaλaλaλλ111AI则可通过非奇异线性变换cxTx第四章线性系统的能控性与能观性121231111110nnnnncaaaaaTbAbAba将式（4.8.1）变换为能控标准型ccxAxbu式中第四章线性系统的能控性与能观性1121010000100001cccnnnATATaaaa100;01ccbTb,11ccnnCCT第四章线性系统的能控性与能观性实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。可以证明,引入非奇异变换,将状态完全能控的单输入系统式(4.8.1)变换为能控标准型式(4.8.2)的变换矩阵的逆矩阵可表达为xTxccT11111ATAcnppPp第四章线性系统的能控性与能观性【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数xxx100112020113021yu解：变换前系统能控判别矩阵122186116422BAABBQc因为,故系统是能控的，可化为能控标准型。n3rankcQ第四章线性系统的能控性与能观性又因为系统的特征多项式为29det3λλIλλAAI故,，01a92a23a引入,其中非奇异变换阵由推论中得xTxccT21211TAA1010024169012421680101611212100321caabbba11242T16132110211208542c第四章线性系统的能控性与能观性也可根据定理8.1先求变换阵的逆矩阵cT1TcP1110012416001168121271242110010841108411084cpU1121AA10211208542pPpp第四章线性系统的能控性与能观性则1242161321P变换后所得能控标准型为xCyBxAxcccu其中0921000101cccATTA1001BTBcc,123123βββccCTC第四章线性系统的能控性与能观性4.8.2系统的能观标准形xAxbuycu，122100001000010000000001nnnaaaAaa00001c第四章线性系统的能控性与能观性式(4.8.19)中,系统矩阵和输出矩阵对(A,C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵的转置),易证与其对应的能观测性判别矩阵UO的行列式,故,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A,C)具有形如式(4.8.19)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定是状态完全能观测的。odet0UorankUn一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对(A,C)不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型。第四章线性系统的能控性与能观性定理4.8.2如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形xTxoooxAxbuycx1111TAATTTn100111nCACACT第四章线性系统的能控性与能观性例4.8.2111,1022xxyxO11210cUcA能观性矩阵1110011211210cTcA第四章线性系统的能控性与能观性423111ATTT1431113021210224132xTATxxx131101242ycTxxx第四章线性系统的能控性与能观性推论2：设单输出线性定常系统CxBuAxxy（4.8.15）能观测,式中A,C分别为矩阵,且系统的特征多项式为nnn1,nnnnaλaλaλλ111AI则存在线性非奇异变换xTxo第四章线性系统的能控性与能观性变换矩阵的逆矩阵oT121321211o11110nnnnnnaaaaaaCACACACT将式（4.8.15）变换为能观测标准型（4.8.19）。第四章线性系统的能控性与能观性其中121o1oo100010001000aaaannnATTA111ooβββBTBnn1000ooCTC第四章线性系统的能控性与能观性与能控的单输入系统能控标准型变换对应,可以证明，引入非奇异变换,将状态完全能观测的单输出系统(4.8.15)变换为能观测标准型式(4.8.193)的变换矩阵，由定理8.2中的构造方法与推论2中的构造方法是等效的。即xTxooToTT第四章线性系统的能控性与能观性【例】试将状态空间表达式变换为能观测标准型解o2001A020A622cUcc因为,故系统是能观测的，可化为能观测标准型。orankU3nxxx100112020113021yu第四章线性系统的能控性与能观性211o121901001627T10A010020020100A100622001aacacc则60003071161100020726)(111ooTT也可根据定理8.2先确定变换阵,再由矩阵求逆得。oT1oT引入,其中非奇异变换阵的逆矩阵xTxooT1oT第四章线性系统的能控性与能观性11121111366C00010061CA0020000002CA1622110100T2o1111171TAA0306006TTT1000207261oT第四章线性系统的能控性与能观性变换后所得能观测标准型为xCBxAxoooyu其中,010901200o1ooATTA,1231ooBTB100ooCTC,