北师大版高中数学必修4参考答案

参考答案第一章三角函数即时体验1.D2.A3.C4.40°320°5.三六6.－120°－1440°7.3.532.521.510.50.511.522.554321123436003.532.521.510.50.511.522.554321123472003.532.521.510.50.511.522.554321123472003.532.521.510.50.511.522.554321123472008.A∩B＝AA∪C＝CC∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝A∪D=D针对训练1·2角的概念的推广1.D2.C3.D4.｛α｜k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z｝5.第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上6.一二三四1·3弧度制即时体验1．24cm2．6；3．73或103；4．；5．中心角时，Smax=216C6.（1）163=4π+43(α=43K=2)（2）-315°=-360°+45°=-2π+4(α=4K=-1)7．∵60°=3∴l=︱α︱R答：弯道处弧AB的长约为．针对训练1.A2.解：(1)因为蒸汽机的飞轮每分钟转300周，故每秒钟应转30060=5周，因此飞轮每1秒转过的弧度数为10π.(2)由弧长公式l=α·r=10π·1.22=6π(米)∴轮周上一点每1秒所转过的弧长为6π米.3.解：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)到分针与时针第一次重合，设时针转过x弧度，则分针走过2π+x弧度.因为时针走1弧度相当于经过6小时=360分，分针走一弧度相当于经过30分，故有360x=30(2π+x)，所以x=211.因此到分针时针第一次重合，分针转过角的弧度数是211+2π=2411.4.分析：要求扇形的面积的最大值，就应建立扇形面积的目标函数，而建立目标函数时，可以将半径r选作自变量.解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l+2r=30∴l=30-2r从而S=12l·r=12(30-2r)·r=-r2+15r=-(r-152)2+∴当半径r=152cm时，扇形面积的最大值是2254cm2，这时α=l=2弧度5.解：首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，如图建立直角坐标系．那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数)(tx、)(ty来刻画，而且2)()(tyth．所以，只需要考虑)(ty的表示达．又设P的初始位置在最低点即0)0(y．在PQORt1中，8)(8costy，8cos8)(ty．而t122，所以t6，86cos8)(tty，106cos8)(tth1·4正弦函数1·4·1即时体验1．D2．A3．A4．B5．B1·4·2即时体验1.证明函数sin3yx为周期函数证明：函数定义域为22{|,},333kkDxxkZ若取23T,那么对每一个,xD,xTD且有2sin3()sin3,3xxxD所以,y是周期函数.2.证明函数|sin|||yx为周期函数证明：函数定义域为R,若取T,那么有|sin||||sin|||,xxxR所以,y是周期函数.3.证明下列函数是周期函数,并求出它的基本周期.（1）sin2xy证明：函数定义域为R,若取4T,那么有4sinsin,22xxxR所以,y是周期函数,4T是函数的一个周期.下面证T也是基本周期.假设存在',0'TT对任何的xR都满足11cos2(')cos233xTx,则当0x时,cos2'1,T这与0'T矛盾.故任何',0'TT都不是周期.即证T是函数的基本周期.(2)sin(2)3yx证明：函数定义域为R,若取T,那么有sin(2())sin(2),33xxxR所以,y是周期函数,T是函数的一个周期.下面证T也是基本周期.假设存在',0'TT对任何的xR都满足sin(2('))sin(2)33xTx,则当0x时,sin(2')sin,33T这与0'T矛盾.故任何',0'TT都不是周期.即证T是函数的基本周期.1·4·3即时体验参考答案：1．用五点法作函数y=2-sinx，x∈[0，2π]的图象解：y=2-sinx，x∈[0，2π]描点法作图：2.作函数y＝－｜sin(x＋4)｜的图像解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π3．用“五点法”画出y＝－sinx函数在区间[0，2π]上的简图。解：（1）列表x02π232πy＝－sinx010－10描点得y＝－sinx的图像：4．画y＝Sinx，x∈R的图象解析：因为终边相同的角的三角函数值相同,所以sin,[2,2(1)),,0yxxkkkZk的图像,与函数sin,[0,2)yxx一致.于是我们只要将sin,[0,2)yxx的图像像左向右平行移动(每次2π个单位长度)就可以得到正弦函数y＝Sinx，x∈R的图象。5.求方程lgsinxx的解的个数分析：此方程解个数即函数的图象与函数图象的交点个数。因为,，所以在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。1·4·4即时体验1．C分析：∵f(-x)＝sin|-x|＝sin|x|＝f(x)f(x)是偶函数，排除D．∵f(-6)＝sin|-6|＝21f(-6＋2)＝sin|-6＋2|＝sin611＝-21∴f(-6)≠f(-6＋2)排除A∵f(6＋)＝sin|6＋|＝sin67＝21，f(6)＝21∴f(6)≠f(6＋)排除B2．A分析：要使y＝sinωx在区间［0，1］上至少出现50次最大值，此区间至少含有4941个周期．4941T≤1又T＝2∴4941×2≤1∴ω≥21973．41≤m3分析：当0x65时0sinx≤1∴0233mm≤14．(2k＋65，2k＋23)，k∈Z分析：∵函数的定义域为2k＋65x2k＋613，k∈Z又t＝1-2sinx在2k＋65x2k＋23，k∈Z上递增．∴函数f(x)在2k＋65x2k＋23，k∈Z上递增．5．解：(1)∵|sinx|≤1∴1＋sinx≥0，1-sinx≥0∴f(x)的定义域为R∵f2(x)＝2)sin1sin1(xx＝2＋2|cosx|∴2≤f2(x)≤4∴2≤f(x)≤2∴f(x)的值域为［2，2］(2)对任意x∈R，都有)(sin1sin1)sin(1)sin(1)(xfxxxxxf∴f(x)是偶函数．针对训练1.证明下列函数是否是周期函数。(1)sinyxx证:设函数sinyxx是周期函数,基本周期为T,那么对所有的xR,sin()sinxTxTxx,即有sin()sinTxTx,那么也有sin()sin,kTxkTxkZ,此式显然不成立,函数y不可能是周期函数.(2)1sinyx证明:当1x时,101x,函数y严格递减,所以不可能是周期函数.(3)2sinyx证:设函数2sinyx是周期函数,基本周期为T,那么对所有的xR,22sin()sinxTx.由x的任意性,0T,所以函数y不可能是周期函数.(4)sin||yx证明:当02x时,sin||sin||yxx,所以T是sin||yx的一个周期,但当0x时,sin||sin||yxx,所以T不是周期,函数y无周期.1·5余弦函数1·5·2即时体验1.解：（1）令z=x+3而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)f[(x+2)+3]=f(x+3)∴周期T=2（2）令z=2x∴f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]即：f(x+)=f(x)∴T=（3）令z=2x+5则：f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(2x+5+2)=3sin(524x)=f(x+4)∴T=4小结：形如y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,xR)周期T=2y=Acos(ωx+φ)也可同法求之2.解：（1）y1=sin(2x+4)最小正周期T1=y2=2cos(3x-6)最小正周期T2=32∴T为T1,T2的最小公倍数2∴T=2（2）T=作图注意小结这两种类型的解题规律（3）y=3sin2x+cos2x∴T=yxo1-123-3.解：（1）当x-4=2kπ+2，即x=2kπ+34(k∈Z)时，sin(x-4)取最大值1，从而ymin=1。(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2∵sinx∈[-1，1]，4.解(1)设u=2x当u∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)时，cosu递增；当u∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)时，cosu递减．∴y=cos2x的递增区间为[kπ-2，kπ]（k∈Z）递减区间为[kπ，kπ+2]（k∈Z）（2）y=2sin(4-x)=-2sin(x-4)5．已知函数f(x)=x2cos12，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2]上的单调性和最值。解：f(x)=|sin2x|f(-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f(x)∴f(x)为偶函数T=2yxo1-1--22在[0,4]上f(x)单调递增；在[4,2]上单调递减注意：若无“区间[0,2]”的条件，则增区间为[42,2kk]kZ；减区间为[2)1(,42kk]kZ针对训练1∴(D)为奇函数，应选(D)．2.解：∵x[6,32]∴x-3[-6,3]∴当x-3=0即x=3时ymax=2；当x-3=3即x=32时ymin=13.解：∵f(x)=)431cos(log21x令431xt∴y=tcoslog21t是x的增函数又∵0211∴当y=tcoslog21为单调递增时；cost为单调递减且cost0∴2k≤t2k+2(kZ)∴2k≤431x2k+2(kZ)；6k-43≤x6k+43(kZ)∴f(x)=)431cos(log21x的单调递减区间是[6k-43,6k+43)(kZ)1·6正切函数1·6·2即时体验1.解：23,2,sin2,232,0,sinsectantan1tan2xxxxxxxxy2.解：1、zkkxkxkxkxkkxkxxx242201tan0cotZkkkkk,2,44,2、轴括第一象限或第四象限包或ykxxxkxxx0csc0cot0csc0cotzkkkkkx)2,22[]22,2(3.解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠2＋ｋπ，ｋ∈Z即x≠4＋2k，ｋ∈Z∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠24k，ｋ∈Z｝（2）设ｔ＝2x，由x≠24k，ｋ∈Z｝知ｔ≠2＋ｋπ，ｋ∈Z∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）（3）由tan2（x＋2）＝tan（2x＋π）＝tan2x∴y＝tan2x的周期为2．（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图4.证明：∵0＜x1＜20＜x2＜2∴－2