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基础诊断考点突破最新考纲1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．第2讲直线与圆基础诊断考点突破1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的________等于它所对的______的一半．②推论：(i)推论1：___________所对的圆周角相等；___________中，相等的圆周角所对的___也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是______．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于__________________．知识梳理圆周角圆心角同弧或等弧同圆或等圆弧直角直径它所对弧的度数基础诊断考点突破2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它____________所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线_________经过_______的半径．(2)推论：①推论1：经过_____且垂直于切线的直线必经过_____．②推论2：经过_____且垂直于切线的直线必经过_____．所夹的弧垂直于切点圆心切点切点圆心基础诊断考点突破4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝______(2)△ACP∽______(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝______(2)△PAC∽______(1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相似求AC、BDPC·PD△BDPPC·PD△PDB基础诊断考点突破定理名称基本图形条件结论应用切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝______(2)△PAB∽______(1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理PA、PB是⊙O的切线(1)PA＝______(2)∠OPA＝______(1)证线段相等，已知PA求PB(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB基础诊断考点突破5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角______．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的___________．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角______，那么这个四边形的四个顶点______．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_____，那么这个四边形的四个顶点_______．互补内角的对角互补共圆对角共圆基础诊断考点突破1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．诊断自测解析连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案6.4基础诊断考点突破2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC︵上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝______.解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.答案50°基础诊断考点突破3．(2014·陕西卷)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析利用相似三角形的性质求解．∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴ACAE＝BCEF，∴2＝BCEF，∴EF＝3.答案3基础诊断考点突破4.(2015·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案125°基础诊断考点突破5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________.解析设⊙O的半径为r(r＞0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝6.答案6基础诊断考点突破考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.基础诊断考点突破(2)法一连接BE，如图1所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，AB为公共边，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.基础诊断考点突破规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．基础诊断考点突破【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.基础诊断考点突破(2)解因为△ABE∽△ADC，所以ABAD＝AEAC，即AB·AC＝AD·AE又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.基础诊断考点突破考点二与圆有关的比例线段【例2】如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.证明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.基础诊断考点突破(2)∠PCE＝∠PAD∠CPE＝∠APD⇒△PCE∽△PAD⇒ECAD＝PCPA；∠PEA＝∠PDB∠APE＝∠BPD⇒△PAE∽△PBD⇒AEDB＝PAPB.又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒PAPB＝PCPA.故ECAD＝AEDB，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.基础诊断考点突破规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．基础诊断考点突破【训练2】(2013·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，基础诊断考点突破所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CFCA，CF＝CA2CB＝83.答案83基础诊断考点突破考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2015·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．基础诊断考点突破(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．基础诊断考点突破(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．基础诊断考点突破【训练3】如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC＝2，AF＝22，求△BDF外接圆的半径．基础诊断考点突破(1)证明因为AB为圆O的一条直径，所以∠AFB＝90°，所以∠BFH＝90°.又DH⊥BD，所以∠HDB＝90°，所以∠BFH＋∠HDB＝180°，所以B，D，H，F四点共圆．基础诊断考点突破(2)解由题意知AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2＝AC·AD，即(22)2＝2·AD，解得AD＝4，所以BD＝12(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1.易证△ADH∽△AFB，所以DHBF＝ADAF，得DH＝2，连接BH，由(1)可知BH为△BDF外接圆的直径，BH＝BD2＋DH2＝3，故△BDF外接圆的半径为32.