2016届《创新设计》数学一轮(文科)浙江专用配套精品课件 3-6 正弦定理、余弦定理及解三角形

第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝；b2＝；c2＝知识梳理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图1)．上方下方(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB．()(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.()√√(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.()××2．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19B.13C．1D.72解析由正弦定理知，2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2ba2－1，又知3a＝2b，所以ba＝32，2sin2B－sin2Asin2A＝2×322－1＝72，故选D.答案D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．答案A4．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．解析由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，即3＝4＋AB2－2AB，即AB2－2AB＋1＝0.解得AB＝1.答案15．(人教A必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形考点一正、余弦定理的简单运用【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝23，b＝6，A＝45°，则c＝________.(2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.深度思考已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sinC＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24.故c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.法二在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－23c－6＝0，所以c＝3±3.因为c＞0，所以c＝3＋3.(2)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理的推论得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，所以B＝2π3.答案(1)3＋3(2)2π3规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【训练1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)(2014·绍兴模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.解析(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－12ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12ab2ab＝－14＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝c2×32＝3，c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×4×1×12＝13，∴a＝13，∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R是△ABC的外接圆的半径．)∴a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R＝asinA＝13sin60°＝2393.答案(1)A(2)2393考点二正、余弦定理的综合运用【例2】(2013·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因为0＜A＜π，所以A＝5π6.(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3，得S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值3.规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【训练2】(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．解(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC可得：sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.【训练3】(2014·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．解如题图，设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsinα，于是，sinα＝CD·sin2π3EC＝2·327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0απ3，于是由(1)知，cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12·277＋32·217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝3－12＋22－2×2×3－1cos120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝ACsin120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练4】(2014·浙江卷)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)解析作PH⊥BC，垂足为H，设PH＝x，则CH＝3x，由余弦定理AH＝625＋3x2－403x，tanθ＝tan∠PAH＝PHAH＝1625x2－403x＋31x0，故当1x＝43125时，tanθ取得最大值，最大值为539.答案539[思想方法]正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要