2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 6.4 数列求和

数学A（文）§6.4数列求和第六章数列基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分基础知识·自主学习知识梳理1.求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式na1＋an2nn－12dSn＝＝na1＋②等比数列的前n项和公式基础知识·自主学习知识梳理(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝；na1(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.a11－qn1－qa1－anq1－q(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.基础知识·自主学习知识梳理(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.基础知识·自主学习知识梳理(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.基础知识·自主学习知识梳理2.常见的裂项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.基础知识·自主学习知识梳理思考辨析(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()a1－an＋11－q√(2)当n≥2时，1n2－1＝12(1n－1－1n＋1).()√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()×判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础知识·自主学习知识梳理(4)数列{12n＋2n－1}的前n项和为n2＋12n.()×(5)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.()(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()3n－12√√基础知识·自主学习考点自测题号答案解析1234AB504－n＋42n因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.题型分类·深度剖析例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和思维升华解析题型分类·深度剖析解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和思维升华解析题型分类·深度剖析所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和思维升华解析题型分类·深度剖析Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋(n－12－n)ln3例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和思维升华解析＝3n－n－12ln3－ln2－1.题型分类·深度剖析综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和思维升华解析题型分类·深度剖析某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.例1已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.题型一分组转化法求和解析思维升华题型分类·深度剖析`跟踪训练1(1)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和等于()A.76B.78C.80D.82解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，②由①②得an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.B题型分类·深度剖析解析由已知得数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an＝___________，其前n项和Sn＝___________________.题型分类·深度剖析(2)已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an＝___________，其前n项和Sn＝___________________.＝n2＋3n－12＋21－2n1－2＝12n(3n＋1)＋2n＋1－2.3n－1＋2n12n(3n＋1)＋2n＋1－2＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)题型分类·深度剖析例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；思维点拨解析思维升华题型二错位相减法求和题型分类·深度剖析列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.思维点拨解析思维升华例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和题型分类·深度剖析解设等差数列{an}的公差为d.例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和由已知得3a1＋3d＝6，8a1＋28d＝－4，解得a1＝3，d＝－1.故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.思维点拨解析思维升华题型分类·深度剖析错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an＝bn×cn的前n项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练.例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；题型二错位相减法求和思维点拨解析思维升华题型分类·深度剖析思维点拨解析思维升华例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和.思维点拨解析思维升华例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析解由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘以q有思维点拨解析思维升华例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1思维点拨解析思维升华＝nqn－qn－1q－1例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析思维点拨解析思维升华＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1.于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析思维点拨解析思维升华所以Sn＝nn＋12，q＝1，nqn＋1－n＋1qn＋1q－12，q≠1.例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.题型分类·深度剖析思维升华注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围.例2(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维点拨解析题型分类·深度剖析跟踪训练2已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；解析12设等比数列{an}的公比为q，由题意知a1＝12，又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列，∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，变形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，即得3a2＝a1＋2a3，题型分类·深度剖析∴32q＝12＋q2，解得q＝1或q＝12，又由{an}为递减数列，于是q＝12，∴an＝a1qn－1＝(12)n.跟踪训练2已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；12题型分类·深度剖析(2)若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的最大n值.解析Tn＋2n＋2≥116由于bn＝anlog2an＝－n·(12)n，∴Tn＝－[1·12＋2·(12)2＋…＋(n－1)·(12)n－1＋n·(12)n]，于是12Tn＝－[1·(12)2＋…＋(n－1)·(12)n＋n·(12)n＋1]，题型分类·深度剖析(2)若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的最大n值.Tn＋2n＋2≥116两式相减得：12Tn＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n－n·(12)n＋1]＝－12·[1－12n]1－12＋n·(12)n＋1，题型分类·深度剖析(2)若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的最大n值.Tn＋2n＋2≥116∴Tn＝(n＋2)·(12)n－2.∴Tn＋2n＋2＝(12)n≥116，解得n≤4，∴n的最大值为4.题型分类·深度剖析解析题型三裂项相消法求和例3(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；思维升华题型分类·深度剖析解因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，解析思维升华S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，题型三裂项相消法求和例3(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型分类·深度剖析解析思维升华题型三裂项相消法求和例3(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.题型分类·深度剖析利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的