2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.2 等差数列及其前n项和

中小学一对一课外辅导专家-1-§6.2等差数列及其前n项和1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数中小学一对一课外辅导专家-2-列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(√)1．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋3×22×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A．18B．20C．22D．24答案B解析因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B解析S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝88.4．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．答案－49解析由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝103.两式相减得a15－a10＝103＝5d，中小学一对一课外辅导专家-3-∴d＝23，a1＝－3.∴nSn＝n·na1＋nn－12d＝n3－10n23＝f(n)，令f(x)＝x3－10x23，x0，f′(x)＝13x(3x－20)．令f′(x)＝0得x＝0(舍)或x＝203.当x203时，f(x)是单调递增的；当0x203时，f(x)是单调递减的．故当n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49.∴nSn的最小值为－49.题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()A．2B．10C.52D.54(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案(1)C(2)C解析(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝12，所以数列{an}是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)由题意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，中小学一对一课外辅导专家-4-因为Sm＝0，故ma1＋mm－12d＝0，故a1＝－m－12，因为am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.(3)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.题型二等差数列的性质及应用例2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27中小学一对一课外辅导专家-5-(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2016＝________.答案(1)B(2)A(3)2016解析(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1＋an2＝n·602＝390，即n＝13.(3)由等差数列的性质可得{Snn}也为等差数列，设其公差为d.则S20142014－S20082008＝6d＝6，∴d＝1.故S20162016＝S11＋2015d＝－2014＋2015＝1，∴S2016＝1×2016＝2016.思维升华在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)C(2)60解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.中小学一对一课外辅导专家-6-题型三等差数列的判定与证明例3已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.思维升华等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()中小学一对一课外辅导专家-7-A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3n答案(1)C(2)A解析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式2an＋1＝1an＋1an＋2可得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，知{1an}是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n.等差数列的前n项和及其最值典例：(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．(4)(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．思维点拨(1)求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1＋an＝a2＋an－1＝…；(2)求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析(1)由题意得a3＋a8＝9，中小学一对一课外辅导专家-8-∴S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝10×92＝45.(2)方法一设数列{an}的公差为d，首项为a1，则10a1＋10×92d＝100，100a1＋100×992d＝10，解得a1＝1099100，d＝－1150.所以S110＝110a1＋110×1092d＝－110.方法二因为S100－S10＝a11＋a100×902＝－90，