第线性代数同济第五版课件

§3向量组的秩12,,,rAAr设有向量组，若在中能选出个向量，满足:定义：0121:,,,rA（）向量组线性无关；211ArAr（）向量组中任意个向量（如果中有个向量的话）都线性相关，0AA则称向量组是向量组的最大线性无一个关向量组；一、最大线性无关向量组和向量组的秩简称最大无关组。r最大无关组所含向量个数称为向量其中：组的秩，0.0只含零向量的向量组没有最大无关1定组，秩为规注：12,,,rA0向量组中任2条件(2)可意向量可由换为：线性表示。AR记作：如，全体n维向量构成的向量组Rn12:,,,nnEeeeR向量组是的最大无关组；nRRn且秩.它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向定理：二、矩阵与向量组秩的关系01.rrrDDADrr所在的列即是列向量组若是矩所阵的一个最高阶非在的行即是行的一个最大无关组，向量组的一个最大零子式则无关组，注：;02最大无关组不唯一03.向量组与它的最大无关组是等价的04.一个向量组的任意两个最大无关组是等价的BABARR设向量组能由向量组线性表示，则定理：三、向量组秩的重要结论.BABABBA设向量组是向量组的部分组,若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组推论(最大无关组的等价定义）是向量组的一个最大无关组:.例.求下列向量组的一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合2340121414120311（1），，，23414122131154136701（2），，，1212123222,12AR34；为最大无关组；且1212122,2AR34；为最大无关组；且§4线性方程组的解的结构1.解向量的概念设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记：（1）一、齐次线性方程组解的结构,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成向量方程：.0Ax（2）若1212111nnx,,x,x为方程的0Ax解，则121111nx称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．2.齐次线性方程组解的性质性质1：若为的解，则21x,x0Ax12x0Ax也是的解.性质2：若为的解，为实数，则1x0Axk1xk0Ax也是的解．3.基础解系及其求法12,,0tAxS若是的解集的最大无关组，则1122ttxkkk定义：0Ax为的通解，此最大无关组为该方程的基并称础解系。求法：设系数矩阵A的秩为r,于是A的行最简形矩阵为：并不妨设A的前r个列向量线性无关．00001001~,1,111rnrrrnbbbbA00000100121,1,111nrnrrrnxxxbbbbnrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110Ax即：1111100rbbC1222010rCbb1,,001nrnrrnrbbC1,,rnxx将作为自由未知量，1-,,nrCC并令它们依次等于可得（1）的通解：11rrnxxxx12nr12,,,nr则为基础解系。（法一）现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入.,100,010,001（法二）依次得rxx1,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001从而求得原方程组的个解：rn.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,12,,,nr则为基础解系。定理：(),0.SmnARArnAxSRnr设矩阵的秩则元齐次线性方程组的解集的秩01(),,RAn当时方程组只有零解故没有基础解系().,RArnnr02当时方程组必有含个向量的基础解系总结：0Ax对于(,0);此时解空间只含一个零向量为维向量空间2,,nr1为一个基若设础解系，12121,,,,nrnrnrkkxkkk则方程组的通解为：其中为任意实数111,,.nrnrnrSxRkkkk解集例1解线性方程组076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解:76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换10212011310000000000初等行变换,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，且其基础解系中有三个线性无关的解向量.13452345223xxxxxxxx543xxx令,010,001.100,xx1221依次得.12,31所以原方程组的一个基础解系为:,001121故原方程组的通解为：.kkkx332211.k,k,k为任意常数其中321,010312.1001231212,0.xxAxbxAx性质1：设及都是的解则为对应的齐次方程的解1.非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的性质20.,xxxAxAxAxbb性质：设是方程的解是方程的解，则仍是方程的解11nrnrxkk其中为对应齐次线性方程组的rnrnkk112.非齐次线性方程组的通解通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解..123438,23622,2323,75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例2.求下述方程组的解1231202921213232100000000010xkkk123.,,kkk其中为任意常数１．最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：一个定理、一个推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．小结：