1.5 事件的独立性_概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

应用数理学院第一章第五节事件的独立性显然P(A|B)=P(A)。这就是说：已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)。用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立。两事件独立的定义例1：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}。可见,P(AB)=P(A)P(B)。由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立。问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}。在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立。在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立。甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如：(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)。一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,则A1与A2独立。因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响。又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。请问：如图的两个事件是独立的吗？即:若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立。反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A与B不独立。我们来计算：P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是Ω和所以，与Ω独立且互斥。不难发现，与任何事件都独立。设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。再请你做个小练习。=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-AB)A、B独立故A与独立。=P(A)-P(A)P(B)证明:仅证A与独立。定理：若两事件A、B独立，则也相互独立。=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(),二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)，四个等式同时P(AC)=P(A)P(C),成立,则称事件P(BC)=P(B)P(C),A、B、C相互P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。独立。推广到n个事件的独立性定义,可类似地刺蛾出:设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意k(),任意，等式包含等式总数为：nk1成立，则称n个事件A1,A2,…，An相互独立。请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化：例2:三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为1，2，3，三、独立性概念在计算概率中的应用所求为P(A1+A2+A3)。记Ai={第i个人破译出密码}，i=1,2,3。已知：P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4。P(A1+A2+A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]则请看演示“诸葛亮和臭皮匠”n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则P(A1+…+An)也相互独立也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。则“至少有一个发生”的概率为P(A1+…+An)=1-(1-p1)…(1-pn)。若设n个独立事件发生的概率分别为类似地，可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1-p1…pn例3：下面是一个串并联电路示意图。A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件，各自下方的数字表示其正常工作之概率。求电路正常工作的概率。P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。解：将电路正常工作记成W。由于各元件独立工作，所以有其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W)0.782。代入得解:例4：验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95,一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99,并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收的概率。设A={此批产品被接收}，Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}，i=0,1,2,3。则因三次测试是相互独立的，故P(A|B0)=0.993，P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。由全率公式,得解:例5:若干人独立地向一游动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率击中目标?设至少需要n个人,才能以0.99以上的概率击中目标。令A={目标被击中},Ai={第i人击中目标},i=1,2,…,n。则A1,A2,…,An相互独立。于是，事件也相互独立。因A=A1∪A2∪…∪An,得P(A)=P(A1∪A2∪…∪An)问题化成了求最小的n,使1-0.4n0.99。解不等式，得小结本节首先给出事件独立定义，然后给出独立事件性质定理及多个利用独立性概念方便地计算事件概率的实例。