1.5.1求曲边梯形的面积

曲边梯形的面积一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的连续函数（不加说明,下面研究的都是连续函数）1.什么是区间I上的连续函数.aboxyaboxy2.什么叫曲边梯形?在直角坐标系中,我们把由直线,,ax)(babx和曲线所围成的图形称为曲边梯形.)(xfy0yOxyaby=f(x)x=ax=b怎样求这样的曲边梯形的面积呢?,)(xfyOxyaby=f(x)x=ax=b魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?-----割圆术思维导航以“直”代“曲”无限逼近案例探究2xy1xyo如何求由直线与抛物线所围成的平面图形的面积S？2xy0,1,0yxx思考1：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？怎样“以直代曲”？能整体以“直”代“曲吗？思考2:能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？能的话,怎样分割最简单？1,1,2,...,iiiinnn记第个区间为nninix11:长度y=x2xyO11、分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形这样[0,1]区间分成n个小区间：11210,,,,,1nnnnn对应的小曲边梯形面积为△SininSSSSS211ininy=x2把底边[0,1]分成n等份,在每个分点作底边的垂线,1n2n1nn案例探究2()()iifnn2()()iifnn2、近似代替(以直代曲）方案.方案..方案…xyO11ininy=x2211()()iifnn方案….案例探究思考3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？思考4：怎样使各个结果更接近真实值？55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo•通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。深入思考12'11111nninniiiiSfxiSnnnn由2,图1.5-4中阴影部分的面积S和为3求n1n1n102n1n1n222231n21n161n2n1nn13.n211n113111111.32nSSnn从而可得S的近似值22212121.6nnnn可以证明1111111limlimlim11.323nnnnniiSfnnnnn分别将区间0,1等分成4,8,,20,...等份图1.5-5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向111于0时,S=1-1-趋向于S,从而有S=3nn42取极限.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.02ii探究在近似代替中,如果认为函数fx=x在i-1i区间,i=1,2,...,n上的值近似地等于右端点nnii处的函数值f,用这种方法能求出S的值吗?nn1i-1i若能求出,这个值也是吗?取任意ξ∈,处3nn的函数值fξ作为近似值,情况又怎样?yn1n2nknnx2xy(过剩近似值)11S=limlimnnnniiSfnn222231lim[12(n1)]nnn1111=lim(1)(2.63nnn）31(1)(21)=limn6nnnn•（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？•（2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗？•（3）总结一般曲边梯形面积的表达式？两个结论1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。2.在近似代替时，用小区间内任一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。2iiniin→∞n→∞i=1i-1i可以证明,取fx=x在区间,上任意一nn点ξ处的值fξ作近似值,都有11S=limfξΔx=limfξ=.n3归纳概括一般曲边梯形的面积的表达式niinfnabS1lim分割近似代替求和逼近以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：即时小结55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo求一个具体曲边梯形的面积一个案例两种思想方案一、方案二、方案三三个方案分割、近似代替、求和、求极限“以直代曲”和“无限逼近”思想四个步骤课堂小结学以致用积。求抛物线部分的断面面，的方程为假设上半部分的抛物线],1,0[xx-1y2oxy1•有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！