1.5.2《函数y=Asin(wx+φ)的图象》

1.5函数y=Asin(wx+φ)的图象1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．3．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．．1．简谐振动简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中，叫做振幅，周期T＝，频率f＝，相位是，初相是.A2πωω2πωx＋φφ奇偶性φ＝时是奇函数；φ＝时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是函数单调性单调增区间可由得到，单调减区间可由得到kπ(k∈Z)π2＋kπ(k∈Z)非奇非偶2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质如下：定义域R值域周期性T＝[－A，A]2πω利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx＋φ0π2π32π2πxy0A0－A0－φω－φω＋π2ω－φω＋πω－φω＋3π2ω－φω＋2πω一.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象所以，描点时的五个关键点的坐标依次是，，，，.若设T＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为，，，，.－φω，0－φω＋π2ω，A－φω＋πω，0－φω＋3π2ω，－A－φω＋2πω，0－φω－φω＋T4－φω＋T2－φω＋34T－φω＋T例1利用五点法作出函数y＝3sinx2－π3在一个周期内的草图．解依次令x2－π3取0、π2、π、3π2、2π，列出下表：x2－π30π2π3π22πx2π35π38π311π314π3y030－30描点、连线，如图所示．练习1作出y＝2.5sin2x＋π4的图象．解令X＝2x＋π4，则x＝12X－π4.列表：X0π2π3π22πx－π8π83π85π87π8y02.50－2.50描点、连线，如图所示．(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．二.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ.(3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出．例2.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝.解析由图象知T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－π6(k∈Z)．又|φ|π2，∴φ＝－π6.2－π6例3如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．解方法一以N为第一个零点，则A＝－3，T＝25π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y＝－3sin(2x＋φ)．∵点N－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y＝－3sin2x＋π3＝3sin2x－2π3.方法二由图象知A＝3，以Mπ3，0为第一个零点，P5π6，0为第二个零点．列方程组ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π，解之得ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.例3如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．小结A、ω、φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点－φω，0外，还可利用五点法来确定初相φ，即在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.练习2如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)在一个周期内的图象，试写出函数的表达式．解方法一由图象知A＝2，T＝34π－－π4＝π，∴ω＝2ππ＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．又当x＝0时，2sinφ＝2，即sinφ＝1，∴φ＝π2(∵|φ|π)，∴所求解析式为y＝2sin2x＋π2.方法二同方法一，求得A＝2，根据图象选取五点法作图中的第一个点为x1＝－π4，则x3＝π4，由－π4ω＋φ＝0π4ω＋φ＝π，解得φ＝π2ω＝2.于是所求解析式为y＝2sin2x＋π2.练习2如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)在一个周期内的图象，试写出函数的表达式．三.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性有以下结论：①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于原点对称⇔f(0)＝0⇔φ＝kπ(k∈Z)．②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于y轴对称⇔f(0)＝A或f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)．例如，(1)若函数f(x)＝5sin(2x＋α)是偶函数，则α等于()A．kπ，k∈ZB．(2k＋1)π，k∈ZC．2kπ＋π2，k∈ZD．kπ＋π2，k∈Z(2)若函数f(x)＝sin(3x＋φ)是奇函数，则φ等于()A．－π2B．kπ＋π2(k∈Z)C．kπ(k∈Z)D．2kπ－π2(k∈Z)解析(1)f(0)＝5sinα＝±5，∴sinα＝±1.∴α＝kπ＋π2，k∈Z.(2)f(0)＝sinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z.D例4.(1)若函数f(x)＝5sin(2x＋α)是偶函数，则α等于()A．kπ，k∈ZB．(2k＋1)π，k∈ZC．2kπ＋π2，k∈ZD．kπ＋π2，k∈Z(2)若函数f(x)＝sin(3x＋φ)是奇函数，则φ等于()A．－π2B．kπ＋π2(k∈Z)C．kπ(k∈Z)D．2kπ－π2(k∈Z)C四.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性有以下结论：①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当f(x0)＝0.②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A.③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．例5.函数y＝sin12x＋π6的对称中心是，对称轴方程是.一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称中心是kπ－φω，0，k∈Z，对称轴方程是x＝(结果用ω，φ表示)．2kπ－π3，0，k∈Zx＝2kπ＋23π，k∈Zkπ＋π2－φω，k∈Z练习3已知函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于直线x＝－π8对称，求a的值．解根据函数图象关于直线x＝－π8对称，∴f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．取x＝π8得f(0)＝f－π4.代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.1．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0≤φ2π)的部分图象如图，求y＝sin(ωx＋φ)的解析式解析由所给图象可知，T4＝2，∴T＝8.又∵T＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，∵0≤φ2π，∴φ＝π4.