函数的最值与导数

Page11.3.3函数的最大(小)值与导数Page21．函数的最大值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最大值．f(x)≤M2．函数的最小值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≥M复旧知新Page30xyabf(a)f(b)复旧知新问题一：函数极值相关概念（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小大，满足f'(b)=0且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f'(a)=0且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。Page4复旧知新问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？解方程f'(x)=0。当f'(x0)=0时：（1）如果在x0附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值；Page5观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？讲授新课x1极大值：f(x2)，f(x4)，f(x6)极小值：f(x1)，f(x3)，f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)oxyx2x3x4x5x6baPage6oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)性质探究探究问题1：开区间上的最值问题结论在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。若有最值，一定在极值点处取得。如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？Page7性质探究探究问题2：闭区间上的最值问题y=f(x)abx1x2x4x3yxoaby=f(x)如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。结论特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则最值则在端点处取得。yxoPage8Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1思考1观察下列图形,找出函数的最值并总结规律图1图3图2连续函数在[a,b]上必有最值；并且在极值点或端点处取到.Page9观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)思考2追踪练习Page10(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:在定义域内,最值唯一;极值不唯一方法总结Page11例1.给出下列说法：（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。（2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。（3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。（4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。其中说法正确的有（）牛刀小试(4)Page12例1.已知函数,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值．31()443fxxx'240,3fxxx解：'0,22(),fxxx令解得：或舍列表x(0.2)2(2,3)y′-0+y递减递增43(0)4(3)1ff又，314()43.33fxxx函数-4在0，上的最大值为4，最小值为-314()43.33fxxx函数-4在0，上的极小值为-Page13典例精讲例2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3,5]上的最值。解：f'(x)=48-3x2=-3(x2-16)=-3(x-4)(x+4)令f'(x)=0，得x=4或x=-4（舍）当-3x4时，f'(x)0，函数单调递增；当4x5时，f'(x)0，函数单调递减；所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值f(4)=128；又f(-3)=-117,f(5)=115所以函数在区间[-3,5]上最大值为128，最小值为-117.Page14求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最值解：又f(-2)=1,f(1)=-8所以函数在区间[-2,1]上最大值为12,最小值为-8巩固练习f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2（舍）当-2x-1时，f'(x)0，函数单调递增；当-1x1时，f'(x)0，函数单调递减；所以当x=-1时，函数取得极大值，且极大值f(-1)=12；Page15练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。]3,2[,3)(.4]3,31[,126)(.3]4,4[,27)(.2]2,0[,26)(.13332xxxxfxxxxfxxxxfxxxxfPage161．下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)以上都有可能3.函数y=432111432xxx,在［－1,1］上的最小值为()(A)0(B)－2(C)－1(D)1213ADA4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（)(A)-4(B)0(C)16(D)20C学以致用Page17325.()3,(1)3(),()1,5;(2)(),fxxaxxaRxfxfxxfxRa已知函数若是函数的极值点求在上的最大值和最小值若函数是上的单调函数求实数的取值范围maxmin:(1)5,()(5)19,()(1)1(2)[3,3]afxffxf答案Page18反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612fxxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa又）40373aa由已知得解得(2)(1)()2,2fx由知在的最大值为3.(0),fa(2)8fa能力提升已知函数在[-2,2]上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值axxx2362)(fPage19已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．:2,32,29abab答案或Page20例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围．23:(1)()()1(,0)fxtxtttxRt解33,()()1,()1xtfxfttthttt当时取最小值即Page2132(2)()()(2)31,()3301()gthttmttmgtttt令由得=1或舍单调递减10单调递增极大值x()gt()gt(0,1)(1,2)1m()(0,2)(1)1gtgm在内有最大值()2(0,2)()0(0,2),10httmgtm在内恒成立等价于在内恒成立即等价于(1,)m的取值范围是Page22322()233812.(1),;(2)0,3,(),.fxxaxbxcxxabxfxcc设函数在及时取得极值求的值若对于任意的都有成立求的取值范围:(1)3,4;(2)(,1)(9,)ab答案Page23有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．maxmin()[()];()[()]fxfxfxfx一般地,恒成立恒成立Page24课堂小结1.规律总结；2.函数存在最值的的条件;3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；(2)计算端点处的函数值f(a),f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。Page25作业：课本P31页：练习（2）（4）题练习册：课时作业（9）布置作业Page26谢谢指导!