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第27课时等腰三角形复习指南［学生用书P24］本课时复习主要解决下列问题.1.等腰三角形的有关概念，性质及判定此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1(包括预测变形1，2，3，4,5)，例2；［限时集训］中的第1，2，3，4，5，7，8题.2.等边三角形的有关概念，性质及判定此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第11，13题.3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题此内容为本课时的难点.为此设计了［限时集训］中的第6,9，10,12，14题.考点管理［学生用书P24］1.等腰三角形的概念定义：有相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线（简称为“三线合一”）.两边顶角互相集合3.等腰三角形的判定判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）.注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定.“性质”指的是由边相等得出角相等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形,即最后得出边相等.4.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形.5.等边三角形的性质和判定性质：（1）等边三角形的三条边都；（2）等边三角形的每一个角都等于.判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于;（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点.60°相等60°6.线段的垂直平分线定义：经过线段的与这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.判定：与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的垂直平分线上.中点垂直相等相等［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°．【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°，∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°.［预测变形３］如图27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）B［预测变形1］［2010·烟台］如图27-2，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A.80°B.70°C.60°D.50°【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠DBE=∠A=20°,∴∠CBE=(180°-∠A)×1/2-∠A=60°.C归类探究类型之一等腰三角形的性质的运用［2011·预测题］如图27-1，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A.13B.14C.15D.16【解析】由线段的垂直平分线性质可知AE=BE，∴△BCE的周长为腰AC与底BC之和，即5+（21-5）×12=13，选A.A［预测变形２］如图27-3，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=50°．【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠DCE=∠A=30°，∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=80°-30°=50°.［预测变形３］如图27-4，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°【解析】设∠C=x,则∠DAE=x,则10°+2x=90°,∴x=40°,选B.B［预测变形４］在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角为50°，则∠B=70°或20°．【解析】当∠A为锐角时,可知∠A=40°,∴∠B=（180°-40°）×12=70°;当∠A为钝角时，可知∠A的补角=40°，∴∠A=180°-40°=140°，∴∠B=12×(180°-140°)=20°.∴∠B=70°或20°.［预测变形5］如图27-5，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6．【解析】△ABC的周长-四边形AEDC的周长=12，∴BE+BD-DE=12，∴EC+DC-DE=12.∵DE+EC+DC=24，∴2DE=24-12，∴DE=6.类型之二等腰三角形的判定［2010·德州］如图27-6，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．【解析】（1）证明△ABF≌△DCE;(2)由等角对等边可判断其形状.证明：（１）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC．（２）△OEF为等腰三角形.理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．【点悟】一般判定等腰三角形的方法是“两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，因此需要结合三角形全等解决线段相等或角相等的问题.类型之三等边三角形的性质与判定如图27-7，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数.【解析】（1）利用“SAS”证明.(2)利用（1）中的结论将∠ABF转化到∠FAE上去，即可求出∠BFD的度数.(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA.在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD.(2)解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.【点悟】在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质（如本题是等边三角形的基本性质）的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法，从而达到解决问题的目的.