搜索
第三章直线与方程§3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身1.点斜式方程(1)若直线l经过点P0(x0，y0)及点P(x，y)，且斜率为k，则k与P0，P的坐标之间的关系是k＝________，即为________________，这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫直线的________方程．(2)当直线l的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程为________．(3)当直线l的倾斜角为0°时，这时直线l与x轴平行或重合，它的方程为__________．2．斜截式方程．如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P(0，b)，代入直线的点斜式方程，可得y－b＝k(x－0)，也就是________，则称b为直线l在y轴上的________．这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的________方程.1.y－y0x－x0y－y0＝k(x－x0)点斜式x＝x0y＝y0自我校对2.y＝kx＋b截距斜截式名师讲解1.直线的点斜式方程一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，满足该方程的每一组实数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．如图所示，设Q(x，y)是直线l上不同于P的任一点，由于P，Q都在l上，所以可用P，Q的坐标来表示直线l的斜率，y－y0x－x0＝k，即y－y0＝k(x－x0)．这就是所求的过点P(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．注意(1)经过点P(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：①当斜率存在时，方程为y－y0＝k(x－x0)；②当斜率不存在时，方程为x＝x0.(2)方程y－y0x－x0＝k与方程y－y0＝k(x－x0)是有区别的，前者表示除点P(x0，y0)外直线上的所有点，后者表示直线上所有点．2．直线的斜截式方程直线的斜截式方程是由点斜式方程导出的，此时直线的斜率为k，经过的点为(0，b)，其形式为y＝kx＋b.当k≠0时，这种形式就是我们所熟悉的一次函数解析式．注意(1)在使用直线的斜截式方程时，必须以直线的斜率存在为前提．(2)b为直线在y轴上的截距，它可正，可负，也可以为零，即b∈R.(3)一般地，在直线方程中，令x＝0，解出y的值，即得直线纵截距，也就是直线与y轴交点的纵坐标．令y＝0，解出x的值，即得直线的横截距，也就是直线与x轴交点的横坐标．课堂互动探究剖析归纳触类旁通直线的点斜式方程一【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．【分析】求点斜式方程时，要注意斜率k不存在的情形．典例剖析【解】(1)由题意知直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．规律技巧利用点斜式求直线方程的步骤：①已知直线过点Px0，y0；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率k；③利用点斜式写出方程若斜率不存在，则方程为x＝x0.直线的斜截式方程二【例2】求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(0,1)；(2)在y轴上的截距为－10.【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解．【解】直线y＝－3x＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k＝3.(1)由于直线过点(0,1)，由直线的点斜式方程，得y－1＝3(x－0)，即为y＝3x＋1.(2)由于直线在y轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程，得y＝3x－10.规律技巧直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况.这不仅形式简单，特点明显，只要知道了直线的斜率及在y轴上的截距，直线就确定了.两直线平行与垂直三【例3】当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a，与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？【解】由题意可知直线l1的斜率k1＝－1，截距b1＝2a，直线l2的斜率k2＝a2－2，截距b2＝2.∵l1∥l2，∴a2－2＝－1，2a≠2.解得a＝－1.∴当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．规律技巧当直线l1与l2的斜率都存在时，(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；(3)若k1＝k2且b1＝b2，则两直线重合.随堂训练1.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析直线2x－3y＋4＝0斜率为23，故直线l的斜率为－32，又过点(－1,2)，所以直线方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案A2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析由x－2y－2＝0，得y＝12x－1，∴直线的斜率为12，又过点(1,0)．故所求直线方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.答案A3．根据下列条件，写出直线的点斜式方程．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为60°；(2)经过原点，倾斜角为45°；(3)经过点C(－1,1)，与x轴平行；(4)经过点D(4,2)，倾斜角为90°.解(1)直线的斜率k＝tan60°＝3，∴直线的点斜式方程为y－4＝3(x＋1)．(2)直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y＝x.(3)直线的斜率为0，∴直线的点斜式方程为y＝1.(4)直线的斜率不存在，直线垂直于x轴，∴直线的方程为x＝4，该直线没有点斜式方程．4．已知直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝4x－2，直线l与l1平行，且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．解由直线l1的方程，知l1的斜率k1＝－2，又l∥l1，∴l的斜率k＝－2.又由直线l2的方程知，l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2.故直线l的方程为y＝－2x－2.