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4.1.1圆的标准方程4.1.1│三维目标三维目标【知识与技能】(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．【过程与方法】进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．【情感、态度与价值观】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．4.1.1│重点难点【重点】圆的标准方程的理解、掌握．【难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．重点难点4.1.1│教学建议(1)充分利用学生已经在初中学过的有关圆的知识，进行知识的正迁移．(2)利用信息技术让学生探究圆与方程的关系．(3)借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，理解圆的标准方程中三个参数的重要性．教学建议4.1.1│新课导入【导入一】(创设情境导入法)已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？新课导入4.1.1│新课导入[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)将x＝2.7代入，得即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．4.1.1│新课导入【导入二】(直接导入)在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？[解析]确定直线的基本要素是点与斜率；确定圆的基本要素是圆心与半径；圆可以用一个二元二次方程来表示．4.1.1│预习探究预习探究►知识点一圆的标准方程设圆的圆心的坐标为(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是______________________．圆的标准方程的两个基本要素：圆心和半径．______和________分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r(r0)三个量确定了，圆的方程就唯一确定了．常见的几种特殊的圆的方程的形式如下表：(x－a)2＋(y－b)2＝r2半径圆心4.1.1│预习探究条件方程形式圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)圆与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)圆与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)4.1.1│预习探究[思考]求圆的标准方程的常用方法有哪些？解：求圆的标准方程的常用方法有：(1)几何法，利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果；(2)待定系数法，由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．4.1.1│预习探究►知识点二点与圆的位置关系已知点P(x0，y0)，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.若点P在圆内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2______r2；若点P在圆上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2______r2；若点P在圆外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2______r2.[思考]集合{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2}表示的图形是____________________________________________________．=以(a，b)为圆心，r为半径的圆上及其内部4.1.1│备课素材备课素材1．圆的标准方程的理解(1)圆的标准方程是利用圆的定义与两点间的距离公式推导出来的．(2)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即为半径)．2．点与圆的位置关系的理解(1)判断点与圆的位置关系，可根据点与圆心的距离与圆的半径的大小关系进行判断．(2)在实际比较中，一般先计算d2＝(x0－a)2＋(y0－b)2，然后比较d2与r2的大小．考点类析例1写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长：(1)圆C：x2＋(y＋3)2＝2，圆C的圆心为________，半径长为________．(2)圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝a2(a≠0)，圆C的圆心为________，半径长为________．►考点一求圆的标准方程4.1.1│考点类析（0，－3）2（－2，1）|a|例2(1)圆心在原点，半径长是5的圆的标准方程为________________．(2)圆心在点C(2，1)，半径长是3的圆的标准方程为_____________________．(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为______________________．4.1.1│考点类析x2＋y2＝25(x－8)2＋(y＋3)2＝25(x－2)2＋(y－1)2＝34.1.1│考点类析【变式】已知A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)，问这四点能否在同一个圆上？若能在同一个圆上，求出圆的方程；若不能在同一个圆上，说明理由．解：设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则a2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋（1－b）2＝r2，（3－a）2＋（4－b）2＝r2，解得a＝1，b＝3，r2＝5.所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.把点D的坐标(－1，2)代入圆的标准方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上，且圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.►考点二4.1.1│考点类析例3求过两点A(1，4)，B(3，2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点M1(2，3)，M2(2，4)与圆的位置关系．4.1.1│考点类析解：因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．又kAB＝4－21－3＝－1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1.由中点坐标公式，可得线段AB的中点为(2，3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.又圆心在直线y＝0上，因此，圆心的坐标是方程组x－y＋1＝0，y＝0的解，即圆心的坐标为(－1，0)，半径长r＝（－1－1）2＋（0－4）2＝20，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.因为点M1到圆心C(－1，0)的距离为（2＋1）2＋（3－0）2＝18，即|M1C|r，所以点M1在圆C内．点M2到圆心C的距离|M2C|＝（2＋1）2＋（4－0）2＝2520，所以点M2在圆C外．4.1.1│考点类析【变式】若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a－1或a1D．a＝±1[答案]A例4某圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5，6)，C(3，－4)，求该圆的标准方程．►考点三利用平面几何知识求圆的方程4.1.1│考点类析解：易知圆的半径长r＝12|AC|＝12（5－3）2＋（6＋4）2＝26.又圆心为线段AC的中点，所以圆心的坐标为(4，1)，所以该圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.4.1.1│考点类析【变式】已知圆心在直线5x－3y＝8上，且该圆与坐标轴相切，求该圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r0)．∵圆与坐标轴相切，∴圆心必在直线y＝x或y＝－x上，圆心的坐标必满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5x0－3y0＝8.由x0－y0＝0，5x0－3y0＝8或x0＋y0＝0，5x0－3y0＝8，得x0＝4，y0＝4或x0＝1，y0＝－1，∴圆心的坐标为(4，4)或(1，－1)，∴半径长r＝4或r＝1，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.4.1.1│考点类析[小结]求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．4.1.1│考点类析【拓展】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________________．(x－2)2＋(y－4)2＝20[解析]由x－y＋2＝0，2x＋y－8＝0可得x＝2，y＝4，即圆心的坐标为(2，4)，半径r＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.4.1.1│备课素材备课素材1．求圆的标准方程的常用方法：(1)几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程．(2)待定系数法：先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后解出a，b，r，再代入标准方程．[例]求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程？解：方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有b＝－4a，（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，|a＋b－1|2＝r，解得a＝1，b＝－4，r＝22.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.4.1.1│备课素材方法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.4.1.1│备课素材2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的判断方法：(1)(x0－a)2＋(y0－b)2r2，点在圆外；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2r2，点在圆内．[例]已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．4.1.1│备课素材解：(1)∵点M(6，9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝10.(2)圆心为(5，6)，∵|PC|＝（3－5）2＋（3－6）2＝13，|QC|＝（5－5）2＋（3－6）2＝3，|PC|＞|QC|，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜13.当堂自测1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A．(－1，5)，3B．(1，－5)，3C．(－1，5)，3D．(1，－5)，34.1.1│当堂自测B[解析]由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径长为3.2．已知定点A(0，－4)，O为坐标原点，以线段OA为直径的圆的方程是()A．(x＋2)2＋y2＝4B．(x＋2)2＋y2＝16C．x2＋(y＋2)2＝4D．x2＋(y＋2)2＝164.1.1│当堂自测C[解析]线段OA的中点(0，－2)为圆心，半径长为2，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝4.4.1.1│当堂自测3．圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C的内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则d的取值范围是________．0≤d4[解析]因为点P在圆C的内部，所以(x0－1)2＋(y0＋2)24，即0≤d4