2015-2016学年高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程§4.2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆________，有两个公共点．(2)直线与圆________，有一个公共点．(3)直线与圆________，没有公共点.自我校对(1)相交(2)相切(3)相离名师讲解1.判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断：dr⇔相交，d＝r⇔相切，dr⇔相离．(2)联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断：Δ0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ0⇔相离．2．有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地，求直线与圆相交所得的弦长，可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理；也可利用韦达定理(代数法)来处理．3．求圆的切线方程的常用方法(1)若点P(x0，y0)在圆C上，过点P的切线只有一条．利用圆的切线的性质，求出切线的斜率．k切＝－1kCP，代入点斜式方程可得．也可以利用结论：①若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过该点的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②若点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则过该点的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)若点P(x0，y0)在圆C外，过点P的切线有两条．这时可设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值，则另一切线斜率不存在，应填上．也可用判别式Δ＝0求k的值．课堂互动探究剖析归纳触类旁通直线与圆的位置关系一【例1】直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2－4x＋2y＋3＝0是相切、相离还是相交？典例剖析【解】解法1：由x＋y－3＝0，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，消去y，并整理可得x2－6x＋9＝0.Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴直线与圆相切．解法2：将已知圆配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，∴圆心(2，－1)到直线的距离d＝|2－1－3|12＋12＝2.∴d＝r＝2，故直线与圆相切．规律技巧判断圆与直线的位置关系有以下两种方法：(1)把圆C的圆心C(a，b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较，即圆C与直线l相离⇔dr；圆C与直线l相切⇔d＝r；圆C与直线l相交⇔dr.(2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定，一般需通过解方程组进行消元，然后用判别式来判断，这种方法计算量大一点，但具有较普遍的意义.切线问题二【例2】已知圆的方程是x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．【分析】只要求出切线的斜率即可．【解】如图所示，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k＝－1k1.∵k1＝y0x0，∴k＝－x0y0.经过点M的切线方程是y－y0＝－x0y0(x－x0)，整理得x0x＋y0y＝x20＋y20.因为点M(x0，y0)在圆上，所以x20＋y20＝r2，所求切线方程是x0x＋y0y＝r2.当点M在坐标轴上，可以验证上面方程同样适用．规律技巧解决直线与圆相切问题时，通常利用几何性质“圆心到切线的距离等于半径”来解决．【例3】已知直线3x－y＋4＝0与6x－2y－1＝0是圆的两条平行切线，则此圆的面积为()A.3π5B.81π40C.81π80D.81π160【解析】设圆的半径为r，因为直线3x－y＋4＝0和6x－2y－1＝0是圆的两条平行切线，则两平行线间的距离d＝2r＝|8－－1|36＋4＝9210，解得r＝9410.故圆的面积为S＝πr2＝81π160.【答案】D规律技巧解答本题的关键是求得圆的半径，而求得半径要抓住两条平行线间的距离为圆的直径．在应用两平行线间的距离公式时，一定要注意两条直线方程中关于x，y的系数必须相同.弦长问题三【例4】直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得弦长为45，求l的方程．【分析】若直线l的斜率不存在，l：x＝5与圆C相切，可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，再根据弦长AB＝45，得方程求k.【解】解法1：设直线l的方程为y－5＝k(x－5)且与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y－5＝kx－5，x2＋y2＝25，消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)．(1)x1＋x2＝－10k1－kk2＋1，x1x2＝25kk－2k2＋1.由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2[100k21－k2k2＋12－4·25kk－2k2＋1]两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝12，或k＝2.代入(1)知，Δ0.故直线l的方程为x－2y＋5＝0，或2x－y－5＝0.解法2：如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半，在Rt△AHO中，OA＝5，AH＝12AB＝12×45＝25，∴OH＝OA2－AH2＝5.∴|51－k|k2＋1＝5，解得k＝12，或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，或2x－y－5＝0.规律技巧关于弦长问题，通常有两种方法，其一称为代数法，即将直线方程代入圆的方程，消去一个变量y(或x)，利用韦达定理，代入两点间距离公式求解．其二称为几何法，即半弦长、弦心距、半径组成直角三角形，利用直角三角形求解．本例说明几何法比代数法简便.随堂训练1.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析∵圆心在直线x＋y＝0上知，排除C、D.验证当圆心(1，－1)时，适合题意，故选B答案B2．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程为________．解析设圆心O(x,0)(x0)，则|x|2＝2，∴|x|＝2，∵x0，∴x＝－2.∴圆的方程为(x＋2)2＋y2＝2.答案(x＋2)2＋y2＝23．以点C(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，则圆C的半径r的取值范围是________________________________________________________________________．解析圆心C(－4,3)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2×－4＋3－5|22＋12＝105＝25，∴0r25.答案(0,25)4．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程．(1)经过点P(3，1)；(2)经过点Q(3,0)；(3)斜率为－1.解(1)∵(3)2＋12＝4，∴点P(3，1)在圆上，故所求切线方程为3x＋y＝4.(2)∵32＋024，∴点Q在圆外．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径．∴|－3k|1＋k2＝2.∴k＝±255.∴所求切线方程为y＝±255(x－3)，即2x±5y－6＝0.(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0.∵直线与圆相切，∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±22.所求切线方程为x＋y±22＝0.5．求经过点P(6，－4)，且被定圆x2＋y2＝20截得弦长为62的直线的方程．解如图所示，AB＝62，OA＝25，作OC⊥AB于C，在Rt△OAC中，OC＝20－322＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0.∵圆心到直线的距离为2，∴|6k＋4|1＋k2＝2.即17k2＋24k＋7＝0.∴k1＝－1，k2＝－717.∴所求直线方程为x＋y－2＝0，或7x＋17y＋26＝0.