2015-2016学年高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程§4.2直线、圆的位置关系4．2.2圆与圆的位置关系课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身一般地，设圆C1和C2的方程分别为：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22.圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，两圆圆心距d＝|C1C2|＝x1－x22＋y1－y22.那么，当dr1＋r2时，两圆________．当d＝r1＋r2时，两圆________．当|r1－r2|dr1＋r2时，两圆________．当d＝|r1－r2|时，两圆________．当0≤d|r1－r2|时，两圆________.自我校对外离外切相交内切内含名师讲解1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(1)判断两圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22位置关系的常用方法：两圆C1、C2外离⇔|C1C2|r1＋r2；两圆C1、C2外切⇔|C1C2|＝r1＋r2；两圆C1、C2相交⇔|r1－r2||C1C2|r1＋r2；两圆C1、C2内切⇔|C1C2|＝|r1－r2|；圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2||r2－r1|，其中|C1C2|＝0时，两圆同心．(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤：第一步：将两圆的方程化为标准方程；第二步：依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1，r2及圆心距d(即|C1C2|)；第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系．2．判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便.课堂互动探究剖析归纳触类旁通圆与圆的位置关系一【例1】a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)内切．【分析】把圆的方程化成标准方程，求出两圆半径及圆心距，再作比较．典例剖析【解】将两圆方程化成标准方程(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5，或a＝2.(2)当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，解得a＝－1，或a＝－2.规律技巧解决两圆的位置关系，运用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.与圆相切的有关问题二【例2】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点(3，－3)的圆的方程．【分析】先设出圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，利用题设条件，得到关于a，b，r的三个方程，解方程组求得a，b，r即可．【解】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，将x2＋y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得a－12＋b2＝r＋1，|a＋3b|2＝r，b＋3a－3·－13＝－1，解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.规律技巧本题利用了待定系数法，设出所求圆的方程，根据圆与圆相切，圆与直线相切的条件列出关于a，b，r的方程组求解.与两圆公共弦有关的问题三【例3】已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【分析】因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程．利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①x2＋y2－4x＋2y－11＝0②的解，①－②得3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.又C1到直线AB的距离为d＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95，∴|AB|＝2r2－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.规律技巧求两圆的公共弦所在直线方程，只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.随堂训练1.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝5，O1A＝25，∴OO1＝5，∴AC＝5×255＝2，∴AB＝4.答案42．圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是________．解析两圆的方程相减得AB的方程为x＋3y＝0，圆O1的圆心为(2，－3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0.答案3x－y－9＝03．⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由．解⊙A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，⊙B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴两圆心之间的距离满足3－2|AB|＝1＋12＋1＋12＝223＋2，即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差．∴两圆相交．⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减，得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．4．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程．解设所求圆的半径为r，则32＋－42＝|8－r|，∴r＝3，或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9，或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.5．判断圆C1：x2＋y2－2x－6y－6＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的公切线的条数．解由题意得将圆C1化为标准方程：(x－1)2＋(y－3)2＝16.将圆C2化为标准方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝1.得圆C1的圆心坐标C1(1,3)，半径r1＝4.圆C2的圆心坐标C2(2，－1)，半径r2＝1，∴|C1C2|＝1－22＋3＋12＝17.又r1＋r2|C1C2|r1－r2，即两圆相交．∴圆C1与圆C2有两条公切线．