6微积分基本公式

第五章第二节微积分基本公式本节主要内容一、积分上限函数二、微积分基本公式三、积分上限函数的应用oxyxxx引例上可积。，且在设],[)(batf0badttf表示一曲)(边梯形的面积。，则取),(baxxadttf)(化。变化时，面积也随之变当x区间在],[)(badttfxa是积分上限，因为x故称为积分上限函数。的函数。上定义了一个xab积。上方部分曲边梯形的面表示区间],[xa一、积分上限函数定义xadttfx)()(相应地可以定义积分下限函数：bxdttf。)(注：aadttfa；易见0)()(badttfb。（)()，则称上可积，在设函数],[],[)(baxbaxf上的积分上限函数。为定义在],[ba积分上限函数的性质定理1上有界的可积函数，则是若],[)(baxfxabadttfx上连续。在],[)()(证：],,[,)(,baxxxMtfmMm，以及使设有)()()(xxxx则xxaxadttfdttf)()(xxxdttf)(，于是xMxxm)(，000xMxmxxlimlim处连续。在即xxxx)(,)(lim00定理2上连续，则在区间若函数],[)(batf).()(],[)()(xfxbadttfxxa上可导，且在证：。设],[,baxxx之间，与在由积分中值定理得xxx,xxxxfxdttfxxx)()()(11，)(f的连续性知及时，当)(xfxx0。)()(lim)(limxffxxxx0使上连续，在因为],[)(baxf)(x注：证明了原函数存在定理)1(的一个原函数就是)()()(xfdttfxxa)()2(公式分可以利用原函数求定积分之间的联系，沟通了定积分和不定积LN此定理又叫系，间的内在联揭示了微分与定积分之)3(.微积分基本定理)())((xfdttfdxdxa)(02dttext求导可去积分号：)4()cos(0xtdt)())((xfdxxfdxdxaxadttfd))((dxxf)(bxdttfdxd))(()(xf)())((xuadttfdxdbxvdttfdxd)())(()()())((xuxvdttfdxdxcos2xxe)())((xuxuf)())((xvxvf)())(()())((xvxvfxuxuf)(,11)(202xdttxx则241112xxx例))((sin2xxdttf412xxbadttfdad))((badttfdcd))(()(af0)(,11)(22xIdttxIxx则)(2cos)(sin2xxfxxf例.1324xxtdtdxd计算解：)(11)(11128312432xxxxtdtdxdxx。81221213xxxx例。求xdttxx020coslim解：用洛必达法则。原极限1120xxcoslim练习.lim21cos02xdtextx求解：用洛必达法则.21e原极限.0)(:),()(1)(,0)(),(],[)(xFbaxdttfaxxFxfbabaxfxa证函数内可导，且上连续，在在设例.),0()()()(,0)(),()(00内为单调增加函数在证明函数内连续，且在设xxdttfdtttfxFxfxf例.0cos)(1002dxdytdtdtexyyxyt所确定，求由方程设函数练习yexxdxdy)1cos(22例设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明证：,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为严格单调增加函数，,)(010F则10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF只有一个解，令即原方程在]1,0[上只有一个解。上有解，在],[)(100xF.]1,0[1)(20上只有一个解在dttfxx上连续，在且],[)(baxfxtdtexfyxyyarctan)()(02与已知两曲线,)(00f解：由已知条件得，；切线方程xynfnfnnfnn20222)()(lim)(lim。202)(f例,)()(arctan110022xxxef。并求极限)(limnnfn2切线方程，处的切线相同，写出此在点),(00定理3（Newton-Leibniz）上连续，在区间设],[)(baxf的一个原函数，则是)()(xfxFbaaFbFdxxf)()()(。baxF)]([)(A二、微积分基本公式一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任2、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给定理3说明：1、；的原函数求)()()(xFxf1；增量计算baxF)]([)(2(A)称为牛顿—莱布尼兹公式，简称为N—L公式。注意：当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立。出了计算定积分的方法：意一个原函数在区间],[ba上的增量；。得出baaFbFdxxf)()()()(3上连续在],[)(baxf例1102。计算dxx解：，的一个原函数是3231xx。3131103102][xdxx例231211。计算dxx解：31][arctanx原积分12743)(例3exdx1。计算ln解：，Cxxxxdxlnlnexxx1[]ln原积分。1例4。轴所围成的图形的面积上与在求xxy],[sin0解：由定积分几何意义知，所求面积为0xdxssin0]cos[x例5)(xf设，10xx。213xx20。求dxxf)(解：201021dxxfdxxfdxxf)()()(dxxxdx21103)(21210221321][][xxx。2。2例7。计算dxx021cos解：dxxcos02原积分2022)coscos(xdxxdx。22112)(例8计算.sinsin053dxxx解xxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x。54利用定积分求极限例。求)(limnnnnn12111。nninnnnni111121111)(，则，记ninxii1iniinx111lim原极限1011dxx101)ln(x2ln).)1(sin2sin(sin1limnnnnnn求).cos12cos1cos1(1limnnnnnn求例))((0xdttxfdxdxadttxfdxd))((badttxfdxd))(()()(0xxfdttfx小结注意：可导上连续是积分上限函数在],[)(baxf一、积分上限函数二、微积分基本公式三、积分上限函数的应用积分上限函数及其性质的基础条件。和微积分基本公式成立