2015-2016学年高中数学-第3章-2第2课时-最大值、最小值问题课件-北师大版选修2-2

导数应用第三章第2课时最大值、最小值问题第三章§2导数在实际问题中的应用课堂典例探究2课时作业4课前自主预习1课前自主预习1.掌握求函数最值的方法．2．了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数求出某些特殊问题的最值．本节重点：求函数最值的方法、利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_______________函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都______________最大值点与最小值点不超过f(x0)．不低于f(x0).最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有______________与____________的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为_________.最大值与最小值极大(小)值点区间端点最值应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下：导数在实际问题中的应用实际问题―→用函数表示的数学问题实际问题的答案用导数解决数学问题说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值．(2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值.1.正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”此性质包括两个条件：(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值．如f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点，也不能保证f(x)有最大值和最小值，如函数f(x)＝|x|，－1≤x≤1且x≠0，1，x＝0.在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．2．正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．3．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．4．解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(1)在生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用函数与方程的思想去分析问题、解决问题．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定该极值是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．(3)优化问题中要注意定义域的限制，当含有参数时，要注意运用分类讨论的思想.[答案]C1.函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B．π2－1C．πD．π＋1[解析]f′(x)＝1－cosx≥0∴f(x)在π2，π上为增函数∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，故选C．2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11[答案]A[解析]f′(x)＝6x2－12x，x∈[－2,2]，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.可得f(x)在[－2,0]上为增函数，在(0,2]上为减函数，∴f(x)在x＝0时取得极大值即为最大值．∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)的最小值为－37.[答案]C3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[解析]本题考查了导数的应用及求导运算，∵x0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′0，x∈(9，＋∞)，y′0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．4．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是____________、____________.[答案]3－17[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1(舍去)．因为f(0)＝1，f(－1)＝3，f(－3)＝－17.所以函数f(x)在闭区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.5．内接于半径为R的球，并且体积最大的圆锥的高为____________．[答案]43R[解析]设圆锥的高为x，底面半径为r，有r2＝x(2R－x)．所以V＝13πr2x＝13πx2(2R－x)＝23πRx2－13πx3.所以V′＝43πRx－πx2.令V′＝0，解得x＝0或x＝43R.因为x∈(0,2R)，所以只有一个极值点x＝43R，即体积最大的圆锥的高为43R.[分析]利用求最值的一般步骤，要注意应用适当的计算方法，保证运算的正确性．求函数的最值求下列函数的最值：(1)f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)；(2)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2.[解析](1)f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，∴f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得x＝±π6，∴fπ6＝32－π6，f(－π6)＝－32＋π6，又fπ2＝－π2，f－π2＝π2，∴[f(x)]max＝π2，[f(x)]min＝－π2.[点评]设函数f(x)的图像在[a，b]上连续，且f(x)在(a，b)内可导，则求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值点；(2)求出f(x)在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．[解析](1)由导数公式表和求导法则可得f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.根据x1，x2列表，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值．且f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋4＝913.而当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝13×23－4×2＋4＝－113(2)又f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝913.与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[－3,4]上的最大值是913，最小值是－113.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．[分析]本题主要考查利用导数求函数最值的逆向运用和分类讨论的思想．最值的逆向问题[解析]显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a0时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值∴当x＝0时，f(x)取得最大值，∴b＝3.又∵f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，－16a＋3＝－29，即a＝2.②当a0时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)最小值∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29.又∵f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)f(－1)．∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，即a＝－2.综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．[解析](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)0，解得x－1或x3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)f(－2)．∵f(x)在[－1,2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.[点评]对(1)求出f′(x)，解不等式f′(x)0即可，对(2)由f(x)的最大值为20，求出a，进而求出最小值.设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2处取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．[分析]连续函数的极值点为f′(x)＝0的根，易求a，b，第(2)问恒成立问题转化为求f(x)在[0,3]上的最值．不等式的恒成立问题[解析](1)∵f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，又f(x)在x＝1及x＝2处取得极值，∴f′(1)＝0，f′(2)＝0.∴f′1＝6＋6a＋3b＝0，①f′2＝24＋12a＋3b＝0.②由①②解得a＝－3，b＝4.(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，只需让f(x)在x∈[0,3]上的最大值小于c2即可．由(1)知f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．令f′(x)＝0得x＝1或x＝2，列表得：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)8c极大值5＋8c极小值4＋8c9＋8c可知y＝f(x)在x∈[0,3]上的最大值为f(3)＝9＋8c，∴9＋8cc2，解得c－1或c9.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．[点评]本题是函数极值与不等式结合的综合题，注意挖掘极值点是f′(x)＝0的根为解题突破口．关于恒成立问题往往需要转化成函数最值问题；f(x)m恒成立，只要f(x)maxm；f(x)m恒成立，只要f(x)minm即可．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a、b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围．[分析](2)中，要使不等式f(x)2|c|恒成立，关键是求出f(x)在闭区间[－2,6]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax