高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)

1高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一.求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1.已知2211()xxxfxx，试求()fx。解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2()1fttt，t≠1。故得：2()1,1fxxxx。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2.（1）已知21()2()345fxfxxx，试求()fx；（2）已知2()2()345fxfxxx，试求()fx；解：（1）由条件式，以1x代x，则得2111()2()345ffxxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xfxxxx。2（2）由条件式，以－x代x则得：2()2()345fxfxxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543fxxx。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例4.求下列函数的解析式：（1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(,2)0(xxfxff，求)(xf；（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf；（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf；（4）已知3)(2)(3xxfxf，求)(xf。【思路分析】【题意分析】（1）由已知)(xf是二次函数，所以可设)0()(2acbxaxxf，设法求出cba,,即可。（2）若能将xx2适当变形，用1x的式子表示就容易解决了。（3）设xx1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。（4）x，x同时使得)(xf有意义，用x代替x建立关于)(xf，)(xf的两个方程就行了。【解题过程】⑴设)0()(2acbxaxxf，由,2)0(f得2c，由1)()1(xxfxf，得恒等式12xbaax，得23,21ba。故所求函数的解析式为22321)(2xxxf。（2）1)1(112)(2)1(22xxxxxxf，又)1(1)(,11,02xxxfxx。（3）设1,11,1ttxtxx则，则1)1()1(111111)1()(22222ttttxxxxxxxftf所以)1(1)(2xxxxf。（4）因为3)(2)(3xxfxf①用x代替x得3)(2)(3xxfxf②解①②式得53)(xxf。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2acbxaxy，顶点式khxay2)(和标根式))((21xxxxay的选择；（2）已知)]([xgf求)(xf的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于)(xf的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(xf，)1(xf，则一般将式中的x用x1代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。3二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3.求324xyxx的定义域。解：由题意知：204xx，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x－2且x≠±4}。例2.求下列函数的定义域：（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则35,0305xxxx即，在数轴上标出，即53,33,3xxx或或。故函数的定义域为]5,3()3,3()3,(.当然也可表示为5x3,33,3或或xxx。（2）要使函数有意义，则1,11,0101xxxxx所以即，从而函数的定义域为1x|x。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2()3,(),(())43xfxxgxyfgxxx例8已知求的定义域.解：2()33()3343xfxxxgxxx由又由于x2－4x＋30**联立*、**两式可解得：9339331344933933|1344xxxxx或故所求定义域为或4例9.若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得24x，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11.求函数231xyx的值域。解：2112312111xxyxxx，因为101x，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法例13.求函数2223456xxyxx的值域。解：2223456xxyxx可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：26632663,7171y。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法例14.求函数23yx，x∈［4，5］的值域。解：由于函数23yx为增函数，故当x＝4时，ymin＝25；当x＝5时，ymax＝513，所以函数的值域为513,25。5、换元法例15.求函数241yxx的值域。解：令10tx，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。5例3.求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数)(xfy，其值域就是指集合Ax),x(fyyC；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】（1）将，1x2y5,4,3,2,1x中计算分别代入得出函数的值域为1,19,5,73，。（2）11,0xx，即所求函数的值域为),1[或用换元法，令)0(1),0(ttytxt的值域为),1[。（3）方法一,12111222xxxy函数的定义域为R。]1,1(y,2x120,1x122。方法二yxyxyxyxxy1)1(11122222]1,1(,0112yyyx得到。故所求函数的值域为（－1，1]。（4）构造法114,25,4)1(3222xxxxxy.3)1(412,16)1(122xx所以函数的值域为[－12，3]。【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。【模拟试题】(答题时间：30分钟)一.选择题1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（）A.［－1，3］B.［－3，1］C.［－2，2］D.［－1，1］2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（）A.2B.4C.6D.83、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（）A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2x（x10）C.y＝20－2x（4≤x10）D.y＝