第六章-连续损伤力学

第六章连续损伤力学第一节弹脆性损伤理论第二节粘脆性(蠕变)损伤理论第三节弹塑性损伤理论第四节疲劳损伤理论第一节弹脆性损伤理论1）弹性各向同性损伤模型对于等温和线弹性情况下的弹性各向同性损伤材料，由于塑性变形很小、温度梯度为零，因此耗散不等式变为：其中损伤扩展力R的含义是表征材料提供产生新的弹脆性损伤的能力，数量上等于损伤扩展所耗散的能量密度。因此，R也可称为损伤能量释放率密度。弹性损伤下，Helmholtz自由能密度函数可表示为0R1,,1::2efW（1）式中，ω是各向同性标量损伤变量；ε是二阶应变张量；E是四阶弹性系数张量。由应力等效性假设有：式中σ是二阶应变张量。由正则关系得：当外载不变时，由（1）和（2）式得：则有：（2）（3）（4）1:1::2fR:2edWdRdConstant12edWRd（5）在单向应力下，损伤扩展力为：式中是单向拉伸有效应力。在多向应力下，损伤扩展力为：其中三向因子Tr对单轴拉伸情况，，则有Tr=1。2222221REE2222221eqeqTrTrREE2213123eqTrvv,/3eq2）准单侧效应在一些实际固体材料中，损伤被看作是各向同性的，为简单起见，常用一个标量（损伤度ω或连续性ψ）表示。但在受拉和受压时，其力学响应有很大差别。如水泥和某些岩石，其拉压的准静态断裂不同；不少材料的疲劳损伤与平均应力水平有关，及在较大损伤时材料拉和压引起的刚度退化显著不同。这些现象产生的一个重要原因是材料中微缺陷因压缩而闭合的效应。常引进闭合系数h表征上述微缺陷的闭合效应：（a）h=1，表示双侧效应，即拉压的损伤效应相同，如不发生闭合的球形微空洞。（b）h=0，表示纯单侧效应，即压缩不引起材料损伤增加；（c）0h1，在同样水平的拉或压下其损伤效应不同，称为准单侧效应。为表示准单侧效应，在有效应力与名义应力σ的关系中引进闭合系数。在一维情况下写为：~11h当σ≥0时当σ0时3）损伤与破坏准则若设损伤度ω或连续性ψ仅是状态的函数而与过程无关，即：或实验证明，某些材料在较小应变下不发生损伤，只有当应变超过它的阈值时才发生损伤，随后，损伤随应变不断加剧并不断扩大。当单元损伤达到它的临界状态时，单元发生破坏且不能承受外载。在一维情况下，定义损伤准则为：th1,1,或=0或0当ε≤εth时当ε＞εth时说明初始无损材料在应变达到其损伤阈值εth前，材料保持无损状态；在应变超过εth后，损伤是状态的函数，其具体形式由实验分析结果加以构造。定义破坏准则为：当ε=εf时，ψ=ψC或ω=ωC。说明当单元所受应变ε达到断裂应变εf时，连续性ψ达到其临界值ψC，或损伤度ω达到其临界值ωC，单元破坏（图1）。应当指出，损伤阈值εth，断裂应变值εf以及相应的损伤度临界值ωC（或连续性临界值ψC）都是材料参数，可以由材料试验决定。实际上，也可用损伤扩展力R达到临界值Rc，表征单元破坏，即有损伤扩展力破坏准则：R=Rc式中，临界值Rc可称为破坏韧度，反映材料抗损伤破坏的能力或损伤耗散的能量密度；它是材料参数，也由实验确定。损伤准则和破坏准则，也可推广到三维的情况。4）损伤演化方程（1）Kachanov方程Kachnov于1958年在研究最简单的单轴拉伸脆性损伤破坏时，提出以下损伤演变方程：式中，材料参数A0和n≥1。上式右边括号中表示的实际上是有效应力。可见，损伤扩展是受有效应力控制的，负号表示材料的连续性标量是逐步减少的，反映损伤度的逐步加大。σth是由应力表示的损伤值，即说明：当σ≤σth时，ψ=1且dψ=0；当当σσth时，ψ＜1且dψ＜0。（6）()()nthAKachanov方程（6）等价于下列用损伤度表示脆性损伤演变过程：（a）恒载荷情况对于均匀拉伸杆受恒载荷，由于脆性材料的变形很小，因则恒载荷意味着恒应力，设σ=σ0。积分式（6），利用初始条件：t=0时，ψ=1，有：得到ψ-t关系：或（7）010tnndAd11011nnnAt11011nntnA（8）()1nA利用断裂条件：t=tf时，ψ=0时，可由上式求得恒载荷下拉伸杆的脆断时间：可见，对于给定材料，脆断时间tf取决于恒应力σ0的大小。将式(9)进行整理，代入式(8)，得到用表示的关系：采用破坏准则ψ=ψC，损伤失稳发展而造成材料破坏(可理解为宏观裂纹的形成)，其局部破坏时间为：1(1)nftt（9）111nftt或（10）（11）1[(1)]nfotnA1(1)nccftt（b）连续变化载荷情况设均匀拉伸杆受连续载荷，应力是时间的函数，即σ=σ（t）。Kachanov方程写为：利用式（9）的结果，设想脆断时间是应力的连续函数，即：代入上述演化方程中得：积分并利用初始条件，得：1(1)()nfntt11nfttnAt（12）110(1)()tnfndttdt()[]ntA于是得到ψ-t关系：利用破坏条件：t=t*f时，ψ=0时得到：可见，损伤演变方程与线性叠加原理是等价的；连续变化拉伸载荷下均匀杆的脆性破坏符合线性叠加原理。（c）多级恒载荷情况设均匀杆受多级恒拉伸应力，每级载荷的作用时间，由式（10），有：11101ntfdt01ftfdt（12）1,2,,kks1kkkttt式中，是相应于恒应力的脆断时间，由式（9）决定。对上式求和，并考虑初始条件（t=0时，ψ=1）和破坏条件（t=t*f时，ψs=0），则有：多级载荷下的断裂时间为：（2）非均匀损伤场如果弹性固体受应力场是均匀的，如等截面的受拉杆，其损伤从理论上说也是均匀的。加载过程中，损伤场将均匀增强，直到发生瞬时破坏。1111nnkkkkkkffttttkftk11skkkftt1sfkktt然而，一般受载弹性固体的应力场是非均匀的，因而造成的损伤是局部的或非均匀的；损伤场的变化也是非均匀的，固体的损伤和断裂是一全过程。损伤-断裂全过程通常可分为两阶段：第1阶段是损伤的起始、损伤场的形成与发展，直到断裂起始；第2阶段是断裂发展过程直到固体（结构）完全破坏。对固体的破坏而言，前一阶段称为断裂潜伏阶段，后一阶段称为断裂发展阶段。下面主要讨论第1阶段的损伤发生和损伤场的发展，直到断裂起始。设应力是位置r和时间t的函数，即：,rt产生的各向同性损伤也是r和t的函数，即：因此，损伤场对时间的变化率为：对于均匀损伤场，ψ与r无关，即：研究断裂潜伏阶段，应力场变化较小而加以忽略，即设σ=σ（r），则依据Kachanov方程，并利用初始条件：t=0时，ψ=1，可积分得到：且因σ与无关，有：,rt,rt或ddrdttrt0r110()(1(1)())tnnrnArd或可见，连续性ψ场随时间而减弱，而损伤度ω场则随时间增强。设在处，，则此处连续性取最小值而损伤度取最大值。在处，断裂起始条件为t=tf，ψ（ri）=0或ω（ri）=1，或。将此条件代入上式，得脆性断裂起始时间：应当指出，在断裂潜伏阶段（），或。1111nnrnArt11111nnrnArtirrmaxirirr1max1nfitnA0fitt0r1r例1等矩形截面梁受纯弯曲（小变形情况）设断裂潜伏阶段，应力场不随时间变化，即：式中，M是弯矩；m是材料参数；I0是截面惯性矩。设拉伸区（y0）在受载后发生损伤；而压缩区（y0）不发生损伤。损伤演变方程为：100mMyyyI得到：注意到，在y=h0处，σ=σmax，有ψ=ψmin。当ψmin（h0）=0时，在y=h0处发生断裂。因此，由上式可以导出断裂起始时间：例2等矩形截面梁受一般弯曲设弯矩M=M（x），x是沿梁长度方向的坐标，有应力场：0nnmnnMAytI11011nnnmnMnAytI1001nmnfinMtnAhI积分损伤演变主程，可得：设在x=x*处，有M=M（x*）=Mmax，则可求得梁的断裂起始时间：10,mMxxyyI110,,11nnnmnxytMxnAytI1001nmnfinMxtnAhI（3）应变表示的损伤演变某些情况下，材料损伤并不直接与时间相关，而仅是应变状态的函数。Lemaitre等建议用下列简单的损伤演变方程：式中，ε0和n1是材料参数；εth是用应变表示的损伤阈值，也是材料参数。积分上式，并用初始条件：ε=0，ψ=1，有ψ-ε关系：或：10/0ndd当ε＞εth时和dε＞0当ε≤εth时和dε＜01101011nn110101nn再利用断裂条件：ε=εf时，ψ=0，可以求得断裂应变：再代入上式可得到关系的另一形式：111nf1111001nfn第二节粘脆性(蠕变)损伤理论1）粘性蠕变断裂(a)蠕变现象*蠕变：粘弹性或粘塑性固体材料在恒应力作用下，其应变随时间逐渐增加的现象。*应力松驰：在恒应变作用下，其应力随时间缓慢降低的现象。金属材料在恒定单轴拉伸应力下的典型蠕变曲线由OACDEF表示，常可分为3阶段：*第1阶段是减速蠕变（CD段），应变率随时间连续降低。*第2阶段是稳定蠕变（DE段），应变率近似常数，应变随时间线性增大。*第3阶段是加速蠕变（EF段），应变率随时间迅速加大，最后发生材料破坏。实际上，材料在不同的应力水平或不同的温度环境下，可能处于不同蠕变阶段，具有不同的蠕变机制和微结构变化。材料在蠕变时往往伴随着微结构变化或缺陷的产生与扩展而构成损伤。在低应力下，材料变形很小，损伤归因于微裂纹的产生、扩散与聚合，最后造成脆性断裂，属长期蠕变断裂。在高应力下，材料有大量晶格滑移而造成粘性损伤，特别使第3阶段蠕变加速，是一种短期蠕变断裂。（b）稳定蠕变理论稳定蠕变理论忽略第1阶段蠕变，也不反映第3阶段蠕变。设粘性应变率仅受拉伸应力控制，即：具体可采用Norton幂律形式式中，是粘性应变对时间的导数；B1和m是材料参数。*恒载荷情况研究简单的受拉等截面杆，长度l=l(t)和面积S=S(t)。在恒定载荷下，应力σ=σ(t)。设初始值：l0=l(0)，S0=S(0)和σ0=σ(0)。在材料体积不变假设下，有：f1mB（1）（2）000SllS（3）式中，λ是反映杆尺寸变化的无量纲量。对于有限变形，定义粘性应变:则：将（5）代入Norton方程（2）中有：考虑到初始条件：t=0时，λ=1，上式的解为：或：（5）（4）（6）（7）01/1nlln111mB110mdxtxBx101mmtmB令初始应变率则式（7）可写为再利用断裂条件：时，λ→∞时，由上式可求得恒载荷下的粘性断裂时间：或：而且可导出λ-t关系：于是有：（8）（9）（10）（11）100mB01mtmftt110mftmB11