勾股定理解析折叠问题含详细的答案

利用勾股定理解决折叠问题解题步骤1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。三角形中的折叠例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若∠B=30°，AC=，求DC的长。EDCBA(B)图13长方形中的折叠例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。EFDCBA图2解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8，DC=DE＋EC=EF＋EC=8，∴在Rt△ABF中FC=BC-BF=10-6=4设EC=x,则EF=DC－EC=(8－x)在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC²=FC²=EF²即x²＋4²=（8－x）²，x=3，∴EC的长为3cm。68102222ABAFBF在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？探究二如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，发挥你的想象力长方形还可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。BADCCEFEFDACBFEDCBA课堂小结1、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。用一张直角三角形形状的纸片,你能折叠成面积减半的矩形吗?说明理由。动手折一折若用一张任意三角形形状的纸片,你还能折叠成面积减半的矩形吗?折叠过程就是轴对称变换,折痕就是对称轴，折痕两边的图形全等。如图，a是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图b，如果∠GEF=20°，那么∠AEG=EADCBF图aCBDEFGA图bD´C´C'D'图cCDBGAFE?20°20°相信你,一定行如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是140°120°折叠问题中,求角度时，往往可通过动手折叠，或将图形还原。如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，C′ADCBE求重叠部分△BED的面积。探究活动探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么三角形？说明你的理由.角平分线与平行线组合时,能得到等腰三角形在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。DAFBCE123把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？中点136探究三如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,图中∠1，∠2，∠3有何关系？你能求出它们的大小吗？如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，点E、F是矩形ABCD的边AB、AD上的两个点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，交AD于G点。１23证明线段相等的方法有证全等，等角对等边，平行四边形，等量线段的和差等。ABCDA'EFGH探究四（1）找出图中所有相等的线段（不包括矩形的对边）（2）请你自己提出一个问题，自己解决。xy(x,y)(E)EF(F)分析：根据点E、F分别在AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。101086664探究五点E、F仍在矩形ABCD的边AB、AD上，仍将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上,当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C的范围为如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，4≤A′C≤8(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，变换前后两个图形全等。（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。我的感悟我的收获谢谢大家！2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。ABCDEOxy1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于课后作业3、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，再将纸片折叠压平，（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由；（3）求AE的长。EABCDFG（4）试确定重叠部分△AEF的面积。课后作业