共点力作用下物体的平衡与常见的物理思维方法

第二讲：共点力作用下物体的平衡与常见的物理思维方法•当我们研究物体的机械运动时，物体所处的状态不外于两种：即平衡与不平衡。当物体处于不平衡状态时，通常我们所用的方法牛顿运动定律。当物体处于平衡状态时，通常我们所用的就是共点力的平衡。所谓共点力是指力的作用点相同，或者力的作用线（或其反向延长线）能交于一点。但我们在处理实际问题时，只要不考虑物体的转动，即使这些力不是共点力，我们也通常是用共点力的平衡来解决所遇支的问题。解共点力作用下物体的平衡的方法:•解共点力作用下物体的平衡的方法一般有两种，一种是力的平等四边形法，另一种是正交分解法。一、用力的平行四边形法求解共点力的平衡•在一般情况下，如果物体受到的力只有三个或更少，而且力与力之间有特殊角，则一般情况下可选择用力的平等四边形法则来解决问题例1:•如图所示，重物的质量为m，轻细线AO与BO的A、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角是θ；则AO的拉力F1与BO的拉力F2的大小为•A．F1=mgsinθB．F1=mgcotθ•C．F2=mgsinθD．F1=sinmgABOθ分析与解：•这是一个典型的共点力平衡问题，研究的对象是结点O，由于O点只受三个力作用，而且存在特殊角，因此用力的平行四边形法则求解比较方便。ABOθ接上页:•O点的受力情况有：重物对O点的拉力F1（F1=mg），AO对绳子的拉力F2，BO对绳子的拉力F3，因为O点处于平衡状态，所以O点所受的所有力的合力应该为零，即任意两力的合力与第三力的大小相等，方向相反。根据这一关系，我们可以得到右图所示的关系图，根据三角形之间的关系，我们可以求出：ABOθF1（F1=mg）F2F3-F1sin3mgFcot2mgF正交分解法：•该题也可以用正交分解法做，以O点为研究对象，建立坐标，出平衡方程：F3cosθ-F2=0F3sinθ-mg=0，同样可解得：cot2mgFxOθF1（F1=mg）F2F3ysin3mgF讨论：•从上面的分析可以看出，当力只有三个且存在特殊角时，一般情况下用力的平行四边形法求解是比较方便的，但作为正交分解法是普遍适用的。例题2•在两个共点力合成的实验中,如图所示,用M、N两个测力计拉橡皮条的结点P,使其位于E处,此时(α+β)=.然后保持M的读数不变,当α角由图中所示的值减小时,要使结点仍在E处,可采用的办法是().•A、增大N的读数,减少β角•B、减小N的读数,减小β角•C、减小N的读数,增大β角•D、增大N的读数,增大β角分析与解•O点的位置不变，表示点受力仍然平衡，即M的位置改变后，仍要保持FM与FN的合力不变，分析图可以看出，β角要变小，FN也要变小FFMFNβαP1PP2O例题3：•如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为600。求两小球的质量之比m1:m2为多少？m1m2Oα分析与解：•分析与解：对于这个问题，我们首先来确定研究对象，研究对象取m1比较方便，分析m1的受力情况，我们可以得到m1的受力图如右，m1m2Oαm1gm2gF1接上页•究竟是采用正交分解法来研究，还是用力的平行四边形法来进行研究，是本题需要考虑的问题，如果用正交分解法来进行研究可能会比较复杂，由于本题不是要求出直接的力的大小，所以采用力的平行四边形法则，从三角形之间的相互关系来研究会比较简单。m1m2Oαm1gm2gF1接上页：•画出力的平行四边形如右图，由于m1处于静止状态，所以m1受到的合外力为零，则任意两力的合力与第三力的大小相等，方向相反，所以F1与m2g的合力大小与m1g大小相等。m1m2Oαm1gm2gF1-m1g接上页•由几何关系可知，有Om1m2组成的三角形为等边三角形，又因为重力的方向与水平面垂直，所以-m1g平分由F1与m2g组成的夹角所以F1与m2g大小相等，则有几何关系可得：2m2gcos300=m1g得m1m2Oαm1gm2gF1-m1g1321mm总结：•该题同学们也可可尝试用正交分解法做，但在解法上要比上述方法复杂一些。例题4：•如图所示，两轻环E和D分别穿在光滑轻杠AB和AC上，AB和AC的夹角为θ，E和D用细线连接，一恒力F沿AC方向拉环D，当两环平衡时，细线与AC的夹角为多少？细线上的拉力为多少？FABCDEθ分析与解：•对于这一题目的分析，我们必须紧紧抓住光滑、细线等隐含条件来分析，如果先以D环为研究对象，问题很难突破，我们不妨先以E环为研究对象：•分析E环的受力情况可知，E环受杠的弹力（方向一杠垂直）、细线的拉力（沿线的方向），若要细保持平衡，二力必须要大小相等、方向相反，成为一对平衡力。由此可以得到细的方向必与AB垂直。FABCDEF1Nθ接上页•再以E环为研究对象，可以看出E环受到三个力的作用：拉力F、杠的弹力N2、线的拉力F2，根据三力平衡的一般解题方法，任意二力的合力与第三力大小相等、方向相反，即可求出F2=FABCDEF2N2θcosF二、求解多个力作用下物体平衡问题的方法•当物体受到的力多于二个时，一般就不能再用力的平行四边形法则来求解，这时用正交分解法来做是最普遍的方法例题5：•如右图所示，质量为m，横截面积为直角三角形的物块ABC，∠ABC=α，AB边靠在竖直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，则摩擦力的大小为多少？αACB分析与解：•本题中物块ABC受重力mg，外力F，墙的支持力N和摩擦力f，故建立右图所示的坐标，并将不没坐标轴上的力进行分解：在x方向上有：N-Fcosα=0；在y方向上有：f-mg-Fsinα=0；即可解得：f=mg+FsinαNm1gfFFxFyαxy小结：•小结：正交分解法是解决共点力平衡问题的一般方法，应用正交分解解决问题时应该注意以下几点：•（1）该方法不受研究对象所受的力的多少的限制；•（2）关于坐标的选取，原则上是任意的，就是说选择不同的坐标轴并不影响计算的结果，但具体应用时应考虑坐标轴的原则是解题的方便；如在静力学中通常选取坐标时要尽可能地使力沿坐标轴的方向，在动力学中，则一般选取加速度的方向为坐标轴的正方向。三、平衡中的动态问题的解决•平衡中的动态变化问题，在静力学中是经常出现的问题，对于这一类问题，有的可直接从力的平行四边形关系得到解决，有的需要用正交分解法解决，但无论是用哪一种方法，关键是要抓住哪些力的大小方向是不变的，哪些力的方向是不变的，哪些力的大小是不变的。例题6•如右图所示，电灯悬挂于两绳之间，AO绳子原来处于水平，现让AO绳子沿顺时针方向转至竖直位置，但保持结点O的位置不变，则绳AO转动时绳子OA上的拉力A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大分析与解：•画出结点O的受力图如右图，本题可以用正交分解法进行定量研究，但这样的方法比较复杂，可以通过力的平行四边形法则，然后通过图形的动态变化来进行分析，问题就能得到简化OA1AA2A3O1总结：•由于该题的求解问题主要是定性判断，而不是定量计算，因此所用的方法的方法是用了力的平行四边形法则，解题中有一个最主要的思想是变化中找不变。该题若用正交分解法来做，会比较复杂。四、平衡问题中整体与局部的关系•在研究平衡问题时，我们还经常会碰到整体与局部的关系，我们在研究问题时，往往需要不断变换研究对象，有时候要从整体上来把握问题的总体特征，有时候又要从细节上研究各部分之间的相互作用。例题7•如右图所示，用轻质细线把两个质量相等的小球悬挂起来，今对小球a持续施加一个向左偏下300的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上300的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是bababAbaBaCabD分析与解：•我们先用隔离法来进行研究，并假设小球平衡如图所示，通过建立坐标，用正交分解的方法求出上、下两细线与竖直方向的夹角，即可求得平衡时的状态图。具体的计算，同学们可以自己去完成。xxyy接上页•如果选a、b两球和球间的细线为整体作为研究对象，因为作用在a、b上的恒力大小相等，方向相反，其合外力为零，而a、b所受的重力方向竖直向下，为了保持平衡，连接a及悬点的细线施于a、b系统的力必须竖直向上，所以正确答案是A。F2F1T2mg说明：•隔离法是将研究对象从周围的联系中隔离出来，是物理学研究问题的一种普遍的方法，它适用于物理学的各个分支，即力学、电学、热学、光学。它的优点就是具有普遍意义。整体法是将整个系统作为研究对象来考虑，特点是过程少，方法巧。但在解决实际问题时，往往需要变换研究对象，交替使用两种方法，才能很好地解决问题。至于两种方法各自的优点，请同学们自己体会。如下面的这一问题，同学们可以自己思考例题8•一只木箱的上端固定着一电磁铁，电磁铁的正下方放置着一铁块，当电磁铁不通电时电磁铁木箱对水平地面的压力为N1，当电磁铁通电但电流不大而未能把铁块吸上去时，木箱对水平地面的压力为N2，当电磁铁通电并能把铁块吸上去时，铁块在向上运动的过程中，木箱对水平地面的压力为N3，则应有：•A、N1=N2=N3B、N1N2N3•C、N1N2N3D、N1=N2N3电磁铁分析与解•如果把研究对象当作整体来看，磁铁与铁块之间的相互作用力是内力，而整体又保持静止状态，所以有N1=N2=Mg；而当铁块被吸引上去时，等效于整体的重心加速向上，因此相当于有：N3-Mg=Ma；a为等效加速度，得N3=Mg+Ma电磁铁五、平衡问题中的临界问题•在研究平衡问题时，我们也经常碰到一些临界问题，对于这一类问题，我们关键是要弄清临界情况发生在何时，何种条件下，一旦临界情况发生点清楚了，则问题的解决也就方便了。例题9•如图所示，三段不可伸长的轻质细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳子•A．必定是OA•B．必定是OB•C．必定是OC•D．可能是OB，也可能是OCABOC分析与解：•先选重物为研究对象，受重力与绳OC的拉力TC，因为平衡，所以TC=mg，再选O点为研究对象，受绳子拉力TA、TB、TC，因为平衡，所以有；TAcosθ=TC，TAsinθ=TB；解得：；θTATBTCmgtgTBcosmgTAmgTC接上页：•因为绳子OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，而OA承受的拉力最大，所以必定是OA先断，答案A正确，静力学中的临界问题很多，请同学们自己留意，下面的问题同学们可以自己思考：例题10：•如右图所示，物体A在水平面上受拉力F1的作用做匀速运动，已知物体的质量是m，拉力F与水平方向的夹角是θ，今若再在物体上施加一个推力F2，问F2与水平方向的夹角满足什么条件时，可以使物体：•（1）仍做匀速运动•（2）做加速运动•（3）做减速运动F1F2θ分析与解•F1cosθ-f1=0；F1sinθ+N1-G=0；f1=μN1；•F1cosθ-μ（G-F1sinθ）=0F1θGf1xyFxFyN1接上页•设作用了F2后物体做匀速直线运动：•F1cosθ+F2cosθ–f2=0；F1sinθ+N2-F2sinθ-G=0；•f1=μN1；•即有：F1cosθ+F2cosθ-μ（G-F1sinθ）-μF2sinθ=0•F2cosθ-μF2sinθ=0•tgα=1/μαF1θGf2xyFyF1xF2xF2yF2N2α六、平衡问题中的实际问题•与平衡问题相联系的实际问题往往很多，解决此类问题的关键是要能够建立起一个正确的物理模型，建立模型时，一定要抓住问题的本质特征。忽略一些次要的因数，才能构建一个既简洁，又正确的物理模型例题11•建造破冰船时，应当使它满足这样的要求：当冰块从侧面挤压过来的时候，应沿着般壳向水下滑去，这样冰块的作用最多只是将船身稍稍抬起，却大大减轻了冰块的挤压对船身造成的伤害，如已知冰块与船身之间的动摩擦因数为μ，则建造破冰船时，船舷与竖直平面之间的夹角