高中 微积分基本定理习题课

微积分基本定理习题课微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).()d()()().bbaafxxFxFbFa或记作11(1)(1)1bbnnaaxdxxnn(3)bbxxaaedxe1(4)lnbbxxaaadxaa12)ln(,0)bbaadxxabx(5)sincosbbaaxdxx(6)cossinbbaaxdxx12)ln()(,0)bbaadxxabx常用积分公式1(2)lnbbaadxxx题型一求简单函数的定积分【例1】计算下列定积分[思路探索]解答本题可先求被积函数的原函数；然后利用微积分基本定理求解．解(1)因为(3x)′＝3，所以3dx＝(3x)21＝3×2－3×1＝3.(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)20＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.(3)因为2x2－x33′＝4x－x2，所以(4x－x2)dx＝2x2－x333－1＝2×32－333－2×－12－－133＝203.(4)因为16x－16′＝(x－1)5，所以(x－1)5dx＝16(x－1)621＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16.(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.【变式1】求下列定积分：题型二求较复杂函数的定积分【例2】求下列定积分：[思路探索]化简被积函数→转化为基本函数的积分→求原函数→求定积分解(1)∵x(1－x)＝x－x，求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余函数、指数、对数函数与常数的和与差．(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．【变式2】计算下列定积分：解(1)sinx－sin2x的一个原函数是－cosx＋12cos2x，＝－cosx＋12cos2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.题型三定积分的简单应用【例3】已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．[思路探索]求2ax2－a2x的原函数→求fa→利用二次函数性质求最值解∵23ax3－12a2x2′＝2ax2－a2x，即f(a)＝23a－12a2＝－12a2－43a＋49＋29＝－12a－232＋29，∴当a＝23时，f(a)有最大值29.定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．【变式3】已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．解由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②＝13a＋12b＋c，∴13a＋12b＋c＝－2，③由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.题型四求分段函数的定积分【例4】计算下列定积分：(1)分段函数的定积分采用分段来求．(2)求带绝对值符号的函数的定积分，先去掉绝对值符号，然后再分段求解．【题后反思】(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．【变式4】求(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.解∵|2x＋3|＋|3－2x|＝－4x，x－32，6，－32≤x≤32，4x，x32，误区警示原函数求错而导致结果错误【示例】计算1xdx.[错解]∵(lnx)′＝1x，∵ln(－1)、ln(－2)无意义，∴此积分不能用初等函数表示．被积函数的原函数求错．∵积分区间为[－2，－1]，∴x0，因此有(ln|x|)′＝＝(ln(－x))′＝1x(x0)．求f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出被积函数f(x)的一个原函数，即要正确运用求导运算与求定积分运算互为逆运算的关系．