2016---2017年高考真题解答题专项训练：立体几何(文科)教师版

试卷第1页，总22页2016---2017年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）教师版1．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据BDEF//，知EF与BD确定一个平面，连接DE，得到ACDE，ACBD，从而AC平面BDEF，证得FBAC.（Ⅱ）设FC的中点为I，连HIGI,，在CEF△，CFB△中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面//GHI平面ABC，进一步得到//GH平面ABC.试题解析：（Ⅰ）证明：因BDEF//，所以EF与BD确定平面BDEF.连接DE，因为,AEECD为AC的中点，所以ACDE，同理可得ACBD.又DDEBD，所以AC平面BDEF，因为FB平面BDEF，所以FBAC.（Ⅱ）设FC的中点为I，连HIGI,.在CEF△中，因为G是CE的中点，所以EFGI//，又DBEF//，所以DBGI//.在CFB△中，因为H是FB的中点，所以BCHI//，试卷第2页，总22页又IHIGI，所以平面//GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以//GH平面ABC.【考点】平行关系，垂直关系【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用已知的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第（Ⅰ）问，先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；第（Ⅱ）问，先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.试题解析：（Ⅰ）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD∥BC,BC=12AD，所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB.（说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）试卷第3页，总22页（Ⅱ）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=12AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.【考点】线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过平面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分.证明面面垂直时，先证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪些线面垂直，确定要证哪些线线垂直，切忌不加思考，随便写．视频3．如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版）试卷第4页，总22页【答案】（1）证明详见解析；（2）217.【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（Ⅰ）延长,,ADBECF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此，BFAC.又因为//EFBC，1BEEFFC，2BC，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK所以BF平面ACFD.（Ⅱ）因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中，33,2BFDF，得21cos7BDF.所以，直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为217.【考点】空间点、线、面位置关系、线面角.【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．视频4．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.试卷第5页，总22页（Ⅰ）求证：FG平面BED；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED；（Ⅲ）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出；（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面几何的知识，如本题可由余弦定理解出90ADB°，即；（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，在BCD中，因为是中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.试卷第6页，总22页（Ⅱ）证明：在ABD中，1,2,60ADABBAD°，由余弦定理可得，进而得90ADB°，即，又因为平面平面平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以，平面平面.（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.过点作于点，连接，又平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成的角即为.在ADE中，，由余弦定理得，所以，因此，，在RtAHB中，，所以，直线EF与平面所成角的正弦值为.【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角【名师点睛】垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.视频5．如图，在四棱锥中，平面，,ABDCDCAC.试卷第7页，总22页（Ⅰ）求证：DCPAC平面；（Ⅱ）求证：PABPAC平面平面；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得//平面CF?说明理由.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在.理由见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB中点F，连结EF，则F//，根据线面平行的判定定理证明//平面CF.试题解析：（Ⅰ）因为平面，所以CDC．又因为DCC，所以DC平面C．（Ⅱ）因为//DC，DCC，所以C．因为平面，所以C．所以平面C．所以平面平面C．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得//平面CF．证明如下：取PB中点F，连结EF，C，CF．又因为E为的中点，所以F//．又因为平面CF，所以//平面CF．试卷第8页，总22页【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.视频6．如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN平面PAB；（Ⅱ）求四面体NBCM的体积.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）453．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.试卷第9页，总22页又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N为的中点，所以N到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS.所以四面体的体积145323NBCMBCMPAVS.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．视频7．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点,EF分别在,ADCD上，,AECFEF交BD于点H，将DEF沿EF折起到'DEF的位置.（Ⅰ）证明：'ACHD；（Ⅱ)若55,6,,'224ABACAEOD，求五棱锥'DABCFE的体积.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）试卷第10页，总22页【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2322.【解析】试题分析：（1）由已知得，,ACBDADCD，AECFAECFADCD//ACEF,EFHDEFHDACHD；（2）由//EFAC14OHAEDOAD，由5,6ABAC224DOBOABAO1,3OHDHDH22222219ODOHDHODOH，可证OD平面ABC．又由EFDHACDO得92EF五边形ABCFE的面积1682S19693224以五棱锥DABCEF体积16923222342V．试题解析：（1）由已知得，,ACBDADCD，又由AECF得AECFADCD，故//ACEF，由此得,EFHDEFHD，所以ACHD．（2）由//EFAC得14OHAEDOAD，由5,6ABAC得224DOBOABAO，所以1,3OHDHDH，于是22222219ODOHDH，故ODOH，